[論文レビュー] Refinements of Mitrinović-Cusa inequality

Zhen-Hang Yang|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2012

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Mitrinović-Cusaの不等式を、$\frac{\sin x}{x}$ の形の鋭い下界 $(\cos px)^{1/(3p^2)}$ を用いて精錬する。$x \in (0, \pi/2)$ に対して、不等式鎖 $$(\cos x)^{1/3} < (\cos px)^{1/(3p^2)} < \frac{\sin x}{x} < (\cos qx)^{1/(3q^2)} < \frac{2+\cos x}{3}$$ が成り立つのは、$p \in [p_1, 1)$ かつ $q \in (0, 1/\sqrt{5}]$ のときであり、$p_1 \approx 0.45347$ である。関数 $p \mapsto (\cos px)^{1/(3p^2)}$ は $(0,1]$ 上で厳密に単調減少であり、古典的不等式を著しく精錬する。

ABSTRACT

The Mitrinović-Cusa inequality states that for x\in(0,π/2) (cos x)^{1/3}

研究の動機と目的

• 三角関数の形 $(\cos px)^{1/(3p^2)}$ を用いて、$\frac{\sin x}{x}$ のためのより鋭い境界を導入することにより、古典的 Mitrinović-Cusa の不等式を精錬すること。
• $x \in (0, \pi/2)$ に対して不等式鎖 $$(\cos x)^{1/3} < (\cos px)^{1/(3p^2)} < \frac{\sin x}{x} < (\cos qx)^{1/(3q^2)} < \frac{2+\cos x}{3}$$ が成り立つような最適な $p$ と $q$ の値を特定すること。
• $(0,1]$ 上で関数 $p \mapsto (\cos px)^{1/(3p^2)}$ の単調性を確立し、それが厳密に減少することを示すこと。
• 積分 $\frac{\sin x}{x}$ および $\ln(\sin x)$ を含むものについての精密な推定値を提示し、精錬された不等式を用いてカタラン定数 $G$ の鋭い境界を導出すること。

提案手法

• 著者らは関数 $F_p(x) = \frac{\ln(\sin x / x)}{\ln(\cos px)}$ を定義し、ベルヌーイ数を含む $\cot x$ および $\tan x$ の級数展開を用いてその単調性を分析する。
• 微分可能な関数の比の単調性に関する補題 1 を活用し、$F_p(x)$ が増加または減少する条件を特定することで、$\frac{\sin x}{x}$ の境界を得る。
• 級数展開（補題 2）および三角関数の積分表現を用いて、$\frac{\sin x}{x}$ および $\cos(px)$ を含む不等式を導出する。
• $F_p(x)$ の $x = 0^+$ および $x = \pi/2^-$ 近辺での振る舞いを分析することで、精錬された不等式鎖が成り立つ最適な $p$ と $q$ を特定する。
• 積分 $[0, \pi/4]$ および $[0, \pi/2]$ 上での精錬された境界の統合を含み、$\ln(\sin x)$ および $x^2 / \sin^2 x$ の積分を推定する。得られた結果を用いてカタラン定数 $G$ の境界を求める。
• 精錬された不等式 $\frac{\sin x}{x} < (\cos qx)^{1/(3q^2)}$ に $q = 1/\sqrt{5}$ を適用し、積分表現を用いて $G$ のタイトな境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $x \in (0, \pi/2)$ に対して $ (\cos px)^{1/(3p^2)} < \frac{\sin x}{x} $ が成り立つような最大の $p$ は何か？
• RQ2 すべての $x \in (0, \pi/2)$ に対して $ \frac{\sin x}{x} < (\cos qx)^{1/(3q^2)} $ が成り立つような最小の $q$ は何か？
• RQ3 関数 $p \mapsto (\cos px)^{1/(3p^2)}$ は $(0,1]$ 上で厳密に単調減少か？
• RQ4 精錬された境界を用いて、$\sin x/x$ および $\ln(\sin x)$ を含む積分の鋭い推定値を導出できるか？
• RQ5 精錬された不等式を用いて、カタラン定数 $G$ の改善された境界を得られるか？

主な発見

• すべての $x \in (0, \pi/2)$ に対して不等式 $ (\cos x)^{1/3} < (\cos px)^{1/(3p^2)} < \frac{\sin x}{x} $ が成り立つのは、$p \in [p_1, 1)$ のときであり、$p_1 \approx 0.45346830977067$ である。
• すべての $x \in (0, \pi/2)$ に対して不等式 $ \frac{\sin x}{x} < (\cos qx)^{1/(3q^2)} < \frac{2+\cos x}{3} $ が成り立つのは、$q \in (0, 1/\sqrt{5}]$ のときである。
• 関数 $p \mapsto (\cos px)^{1/(3p^2)}$ は $(0,1]$ 上で厳密に単調減少であり、古典的境界の連続的補間を提供する。
• 精錬された不等式を用いて、積分 $\int_0^{\pi/4} \ln(\sin x)\,dx$ の鋭い境界を確立し、$$-\frac{\pi}{8}\left(2 + \ln 2 - \frac{\pi^2}{72}\right) < \int_0^{\pi/4} \ln(\sin x)\,dx < -\frac{\pi}{4}\left(2\ln 2 + 1 + \frac{\pi^2}{288} - \ln\pi\right)$$ を得た。
• カタラン定数 $G$ について、3 つの新しい鋭い境界を導出した：$$\frac{\sqrt{6}\pi}{2\sqrt{16\sqrt{3}-\pi^2}} < G < \frac{3}{32}\pi^2,$$ $$\frac{\pi}{2}\left(\ln 2 - \ln\pi + \frac{\pi^2}{288} + 1\right) < G < \frac{\pi}{4}\left(2 - \ln 2 - \frac{\pi^2}{72}\right),$$ および $$\frac{\pi^2}{16} - \frac{\pi}{4}\ln 2 + \frac{8}{5}(172 - 99\sqrt{3}) < G < \frac{\pi^2}{320}(37 + 6\sqrt{3}) - \frac{\pi}{4}\ln 2$$。