[論文レビュー] Reflected BSDE driven by G-Brownian motion with an upper obstacle

Hanwu Li, Shigē Péng|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、上位の障害物を伴うG・ブラウン運動に駆動される反射型後向きストキャスティック微分方程式（RBSDEs）の解の存在および一意性を、ペナルティ近似法と変種比較定理を用いて確立する。解は、与えられた制約下で可能な限り大きなものであることが示され、古典的RBSDE理論が非線形G期待値枠組みへと拡張される。

ABSTRACT

In this paper, we study the reflected backward stochastic differential equation driven by G-Brownian motion (reflected G-BSDE for short) with an upper obstacle. The existence is proved by approximation via penalization. By using a variant comparison theorem, we show that the solution we constructed is the largest one.

研究の動機と目的

• 上位障害物を伴うG・ブラウン運動設定における反射型BSDE理論を拡張すること。
• 非線形期待値枠組み下での反射型G-BSDEの解の存在を確立すること。
• 変種比較定理を用いて、構築された解が、すべての可能な解の中で最大であることを証明すること。
• 特に不確実性ボラティリティモデルに対して、古典的RBSDE結果を完全非線形Gフレームワークへ一般化すること。
• G期待値設定における非優勢性および弱コンactnessの欠如という課題に対処すること。

提案手法

• 上位障害物の制約を満たすために、ペナルティ項を次第に増加させるG-BSDEの系列を構築するためのペナルティ近似法を用いる。
• 上位障害物制約を満たすために、項 $ n\backslashint_{t}^{T}(Y_{s}^{n}-S_{s})^{+}ds $ を含むペナルティ方程式を定義する。
• G期待値下での変種比較定理を適用して、ペナルティ方程式の解を比較する。
• Itôの公式を $ \bar{Y}_{t}^{\alpha/2}e^{rt} $ に適用し、事前推定を導出し、一意性を証明する。
• $ S_G^\alpha(0,T) $ の要素の一様連続性に依存して、$ M_G^\beta(0,T) $ における弱コンパクト性の欠如を克服する。
• 経路的一意性を保証するために、増加過程 $ A $ に分解条件 $ A = A^1 - A^2 $ を課し、$ -A^1 $ を減少Gマルティンゲール、$ A^2 $ を増加とすることとする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gフレームワーク下で上位障害物を伴う反射型G-BSDEは解を有するか？
• RQ2 障害物制約下で、解が可能な限り最大のものとして特徴付けられるか？
• RQ3 標準的な道具（例：Fatouの補題）が直接適用されない非線形G期待値設定において、ペナルティ法はどのように適合されるか？
• RQ4 非優勢確率測度の存在下で、解の一意性を保証する条件は何か？
• RQ5 G-BSDEに上位障害物と非決定的二次変動を含む場合、比較定理はどのように拡張可能か？

主な発見

• 上位障害物を伴う反射型G-BSDEの解は存在し、ペナルティ近似スキームにより構築される。
• G期待値下での変種比較定理を用いて、解がすべての可能な解の中で最大であることが証明される。
• 増加過程 $ A $ に追加の分解条件 $ A = A^1 - A^2 $ を課すことで、一意性が確立される。ここで $ -A^1 $ は減少Gマルティンゲール、$ A^2 $ は増加である。
• 弱コンパクト性の欠如にもかかわらず、Gバナッハ空間においてペナルティ系列 $ (Y^n, Z^n, L^n - K^n) $ の収束が証明される。
• Itôの公式を $ \bar{Y}_{t}^{\alpha/2}e^{rt} $ に適用して事前推定を導出し、$ \hat{\mathbb{E}}[\int_0^T (Z_s - \tilde{Z}_s)^2 d\langle B\rangle_s] = 0 $ が得られ、これにより $ Z \equiv \tilde{Z} $ が導かれる。
• 解はSkorohod型条件 $ \int_0^T (S_s - Y_s) dA_s^2 = 0 $ を満たし、増加過程による最小限の干渉を保証する。