[論文レビュー] Reflected BSDE with stochastic Lipschitz coefficient

Wen Lu|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、確率的リプシッツ係数を有する1次元の反射付き後向きストキャスティック微分方程式（RBSDE）の解の存在および一意性を確立する。重み付きノルムの下でスネル包と不動点定理を組み合わせることにより、係数に関する適切な可積分性および成長条件の下で、適切な重み付き空間内に一意解が存在することを証明し、古典的結果を決定的リプシッツ仮定を超えて拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we deal with a class of one-dimensional reflected backward stochastic differential equations with stochastic Lipschitz coefficient. We derive the existence and uniqueness of the solutions for those equations via Snell envelope and the fixed point theorem.

研究の動機と目的

• 反射付きBSDEの古典的解の存在および一意性結果を、決定的リプシッツ条件を超えて拡張すること。
• アメリカン・オプション評価や確率的制御などの応用分野における標準的リプシッツ仮定の限界を是正すること。
• 係数が確率的リプシッツ条件を満たし、時間に依存する確率的境界を持つRBSDEの適切な定式化を確立すること。
• 生成子に関するより弱く、より現実的な条件の下でRBSDEを解くための厳密なフレームワークを提供すること。

提案手法

• 係数過程の累積二次変動に基づく指数的重みを用いた重み付きノルム空間を導入する。
• 反射付きBSDEの文脈において、最小上位解を特徴付けるためにスネル包を適用する。
• 適応過程の完備距離空間における不動点定理を用いて、解を反復的に構成する。
• 適応的かつ下から有界な確率的係数μ(t)およびγ(t)を有する確率的リプシッツ条件を課す。
• 重み付き過程e^{βA(t)}|ΔY_t|^2に伊藤の公式を適用し、事前推定を得る。
• 推定における成長項を支配するために十分に大きなβを選択することで、収縮写像を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定的リプシッツ条件ではなく、確率的リプシッツ条件の下で、反射付きBSDEの解の存在および一意性を確立できるか？
• RQ2 係数およびデータにどのような条件を課せば、解が重み付きL²空間に留まるか？
• RQ3 確率的リプシッツ境界を有するRBSDEの文脈において、スネル包を効果的にどのように利用できるか？
• RQ4 解写像が重み付き空間で収縮写像となる条件は何か？
• RQ5 このフレームワークは、金融応用分野で生じる有界でないが可積分な係数を扱えるか？

主な発見

• 与えられた仮定の下で、RBSDEは重み付き空間S²(β,a) × H²(β,a)内に一意解を有する。
• 事前推定が得られ、十分に大きなβに対してE[sup_t |Y_t|² e^{βA(t)}] < ∞を満たすことが示された。
• βが十分に大きいとき、解写像は重み付きノルム‖(Y,Z)‖²_β = E[∫₀ᵀ e^{βA(s)}(a(s)²|Y_s|² + |Z_s|²)ds] において収縮写像である。
• 解の差が伊藤の公式と局所時間項の非正性を用いてほとんど確実に消えることにより、一意性が証明された。
• 重み付き空間におけるコーシー列を構成し、完備性を用いることで、存在結果が確立された。
• このフレームワークは、金利およびリスクプレミアムモデルにおける金融分野で生じる有界でないが可積分な係数を扱える。