[論文レビュー] Reflecting Ornstein-Uhlenbeck processes on pinned path spaces

Masanori Hino, Hiroto Uchida|ArXiv.org|Nov 14, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 10被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、一様外部球条件の下で、Ω ⊂ ℝ^d 上の固定端パス空間における反射性を持つオーランシュタイン＝ウーレンバック過程の存在を示す。これは、1_{W_{a,b}^Ω} がウィener空間上での有界 variation (BV) 関数であることを証明することによって達成される。ブラウン運動の定量的評価と容量論を用いて、反射に伴う表面測度が境界をちょうど一度通過するパスに集中することを示し、滑らかでない領域に対しても、境界の滑らかさを仮定しないで前人より一般化された結果を得た。

ABSTRACT

Consider a set of continuous maps from the interval $[0,1]$ to a domain in ${\mathbb R}^d$. Although the topological boundary of this set in the path space is not smooth in general, by using the theory of functions of bounded variation (BV functions) on the Wiener space and the theory of Dirichlet forms, we can discuss the existence of the surface measure and the Skorokhod representation of the reflecting Ornstein-Uhlenbeck process associated with the canonical Dirichlet form on this set.

研究の動機と目的

• W_{a,b}^Ω と表される、a から b へのΩ内連続パスの空間の閉包上に反射性オーランシュタイン＝ウーレンバック過程の存在を確立すること。
• 境界が滑らかでない場合でも、1_{W_{a,b}^Ω} がウィナースペース上でBV関数であることを、滑らかな境界よりも弱い正則性条件の下で証明すること。
• スコロフホド表現における表面測度が、境界をちょうど一度通過するパス、すなわち ∂'W_{a,b}^Ω に集中することを示すこと。
• 明示的な熱核法線微分に依存せずに、ディリクレ形式とBV理論を用いて、反射過程の確率的構成を提供すること。

提案手法

• Ω に対する一様外部球条件を幾何的仮定として導入し、境界付近にやや弱い特異性を許容する。
• 容量推定とブラウン運動の経路的推定を用いて、パスが境界を複数回通過する集合の測度を制御する。
• 一次元ブラウン運動にドリフトを加えた定量的推定を応用し、抜出自律確率と局所時間の挙動に対する境界を導く。
• ウィナースペース上でのBV関数理論とディリクレ形式を用いて、表面測度の存在とスコロフホド表現の確立を行う。
• パスがW_{a,b}^Ω 内で複数回境界に接触する集合の容量を推定する問題に還元し、そのような集合の容量がゼロであることを示す。
• 容量がゼロであることから、基準測度のもとでそのようなパスは無視可能であることが保証され、表面測度が ∂'W_{a,b}^Ω に集中することが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 領域Ωに対して、どのような幾何的条件を満たせば、1_{W_{a,b}^Ω} がウィナースペース上でBV関数と見なせるか？
• RQ2 ∂Ω が滑らかでない場合でも、反射性オーランシュタイン＝ウーレンバック過程のスコロフホド表現を構成できるか？
• RQ3 境界が滑らかでない場合でも、反射に伴う表面測度が境界をちょうど一度通過するパスに集中するか？
• RQ4 明示的な熱核法線微分に代えて、経路的推定を用いて、部分積分公式における境界寄与項を制御できるか？
• RQ5 一様外部球条件の下で、境界を複数回通過するパスの集合の容量はゼロか？

主な発見

• 一様外部球条件の下では、∂Ω が滑らかでない場合であっても、1_{W_{a,b}^Ω} はウィナースペース上でBV関数である。
• 反射性オーランシュタイン＝ウーレンバック過程のスコロフホド表現における表面測度は、境界をちょうど一度通過するパスの集合 ∂'W_{a,b}^Ω に集中する。
• 境界を複数回通過するパスの集合の容量はゼロであり、表面測度のもとでそのようなパスは無視可能である。
• 証明はブラウン運動の経路的推定に依存しており、熱核の法線微分の存在を仮定しない。
• 本結果は、ハリヤとサムボッティの先行研究を一般化し、境界の滑らかさを仮定する必要を排除した。
• 本手法は柔軟であり、片側固定パスなどの他のパス空間設定へも応用可能である。