[論文レビュー] Reflection maps

Guillermo Peñafort Sanchis|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2016

Advanced Algebra and Geometry被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、反射群作用における軌道写像との合成として定義される反射マップを導入し、その特異点を分析するための道具を提供する。$τ$-安定性の障害を同定し、遮蔽のない場合に任意の退化次数の無限族の$τ$-有限な写像の扇を構成するとともに、長年の予想（L）[...]に接続する。

ABSTRACT

Given a reflection group $G$ acting on a complex vector space $V$, a reflection map is the composition of an embedding $X \hookrightarrow V$ with the orbit map $V o\mathbb C^p$ that maps a $G$-orbit to a point. Reflection maps can be very singular, but we give tools to study them easily. We find obstructions to $\mathcal A$-stability of reflection maps and produce, in the unobstructed cases, infinite families of $\mathcal A$-finite map-germs of any corank. We also relate them to conjectures of L\^e, Mond and Ruas.

研究の動機と目的

• 反射群作用と軌道構造に起因する複雑さを有する反射マップの特異点を分析するための道具を開発すること。
• 特異点論における重要な条件である$τ$-安定性の障害を同定すること。
• 遮蔽のない場合に、任意の所定の退化次数の無限族の$τ$-有限な写像の扇を構成すること。
• 写像の扇分類に関するLfle、Mond、Ruasの予想との関係を明らかにすること。

提案手法

• 反射群による作用に基づく埋め込み$X \hookrightarrow V$と軌道写像$V \to \mathbb{C}^p$の合成により反射マップを定義する。
• 反射群論および不変体論の技法を用いて軌道写像の構造を研究する。
• 特異点論のツールを用いて写像の扇の安定性および有限性を分析する。
• 群作用における代数的および幾何的制約を用いて$τ$-安定性の障害を同定する。
• 不変体論的構成を用いて、遮蔽のない場合に$τ$-有限な写像の扇の明示的族を構成する。
• 構造的および位相的比較を通じて、特異点論における既知の予想と結果を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反射群によって定義される反射マップにおける$τ$-安定性の障害は何か？
• RQ2 遮蔽のない場合に、任意の所定の退化次数の無限族の$τ$-有限な写像の扇を構成できるか？
• RQ3 反射マップは、写像の扇分類に関するLfle、Mond、Ruasの予想とどのように関係するか？
• RQ4 軌道写像のどのような構造的性質が反射マップの特異点型に影響を与えるか？
• RQ5 反射群およびその不変量は、誘導される写像の安定性および有限性をどのように規定するか？

主な発見

• $τ$-安定性の障害は、群作用と埋め込み構造の間の相互作用によって決定される。
• 遮蔽のない場合に、本稿では任意の所定の退化次数の無限族の$τ$-有限な写像の扇を構成する。
• これらの族の構成は、反射群および軌道写像の不変体論的性質に依存する。
• 結果は、写像の扇分類に関するLfle、Mond、Ruasの予想を支持する新たな証拠を提供する。
• 本研究で開発された枠組みにより、本質的に複雑な反射マップの特異点を体系的に分析可能である。
• 本研究は、反射群の不変量と特異点論的有限性条件との間の橋渡しを確立する。