[論文レビュー] Reflectionless Herglotz functions and generalized Lyapunov exponents

Alexei Poltoratski, Christian Remling|ArXiv.org|May 28, 2008

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ジャコビ作用素のスペクトル論における反射なしヘルグロッツ関数とその役割を調査し、反射なし測度の特異部の構造および一般化されたリャプノフ指数に焦点を当てる。特異部がゼロ密度集合上に台を持つことを確立し、リャプノフ指数が消え、状態密度が均衡測度に等しくなる条件を導出し、デニソフ＝ラフマノフ型定理をより広いスぺクトルクラスへ拡張する。

ABSTRACT

We study several related aspects of reflectionless Jacobi matrices. Our first set of results deals with the singular part of reflectionless measures. We then introduce and discuss Lyapunov exponents, density of states measures, and other related quantities in a extit{general} setting. This is related to the previous material because the density of states measures are reflectionless on certain sets.

研究の動機と目的

• ジャコビ作用素に関連する反射なし測度の特異部の構造を理解すること。
• 反射なし関数の文脈において、リャプノフ指数理論および状態密度測度を一般化すること。
• デニソフ＝ラフマノフ型定理を弱く均一な集合およびより一般的なコンパクトなスペクトルへ拡張すること。
• ポテンシャル論的道具を用いて、反射なし測度、均衡測度、スペクトル型の関係を明確化すること。

提案手法

• 実部の境界値を用いて、反射なし測度を特徴付けるヘルグロッツ関数表現を用いる。
• 対数的容量および均衡測度を含むポテンシャル論的道具を適用し、スペクトル挙動を分析する。
• 一般化されたリャプノフ指数を導入し、トゥースラ公式およびスペクトル測度と関連付ける。
• ヒルベルト変換およびその切断版を用いて、ゼロ密度集合上における特異部の存在を研究する。
• ジャコビ行列の係数の部分列極限を分析し、漸近的スペクトル性質を導出する。
• 測度の特異部の台と、リーマン密度がゼロとなる点の集合との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反射なし測度が与えられた集合 E 上に非自明な特異部を持つための条件は何か？
• RQ2 状態密度が E 上で反射なしであるとき、一般化されたリャプノフ指数はどのように振る舞うか？
• RQ3 反射なし測度の特異部の正確な台は、リーマン密度の観点からどのように記述できるか？
• RQ4 デニソフ＝ラフマノフ定理は、有限個の区間の和集合や均一集合を超えて、どの程度一般化可能か？
• RQ5 アブソリュート連続スペクトルを有するジャコビ作用素において、均衡測度が状態密度と一致するのはいつか？

主な発見

• E 上の反射なし測度 μ の特異部は、E のリーマン密度がゼロとなる点の集合上に台を持つ。
• E 上の有界可測関数 θ に対して、μ の特異部は、θχ_E の切断ヒルベルト変換が存在する点に台を持つ。
• 均衡測度 ω_E に特異部がない場合、任意の J ∈ DR(E) に対して、リャプノフ指数は E 上ほとんど everywhere で消え、状態密度は ω_E に等しくなる。
• スペクトル測度の被覆的台 K に対して、cap(Z) ≤ A ≤ cap(K) が成り立つ。ここで A は係数 a(n) の積の指数的増加率である。
• 本質的スペクトル σ_ac(J) は、リャプノフ指数が消える点の集合の本質的閉包に含まれ、cap(Σ_ac) ≤ A_- が成り立ち、|Σ_ac| ≤ 4A_- が成り立つ。
• 弱く均一な集合 E に対して、定理5.3の条件は γ = 0 および dk = ω_E が E 上ほとんど everywhere で成り立つことを保証し、既知の結果をより広いクラスのスペクトルへ拡張する。