[論文レビュー] Reflective modular forms in algebraic geometry

Valery Gritsenko|arXiv (Cornell University)|May 20, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 26被引用数 28

ひとこと要約

本稿では、大きな重みを持つ強反射的モジュラー形式の存在が、それに対応するモジュラー多様体のコイカーラ次元 ≤ 0 を示すことを確立する。ヤコビリフトを用いて、根系 $D_8$、$3A_2$、$4A_1$ に関連する3つの形式の塔を構成し、次元4、6、7の新しいモジュラー多様体を得た。これらはコイカーラ次元0であり、ボルヘルツ・エヌリューズ形式 $Φ_4$ およびヨシカワの自己同型的判別式の明示的フーリエ展開も提供する。

ABSTRACT

We prove that the existence of a strongly reflective modular form of a large weight implies that the Kodaira dimension of the corresponding modular variety is negative or, in some special case, it is equal to zero. Using the Jacobi lifting we construct three towers of strongly reflective modular forms with the simplest possible divisor. In particular we obtain a Jacobi lifting construction of the Borcherds-Enriques modular form Phi_4 and Jacobi liftings of automorphic discriminants of the Kähler moduli of Del Pezzo surfaces constructed recently by Yoshikawa. We obtain also three modular varieties of dimension 4, 6 and 7 of Kodaira dimension 0.

研究の動機と目的

• 反射的モジュラー形式の幾何的基準を、除数の最小性に基づいて確立すること。
• 大きな重みを持つ強反射的モジュラー形式の存在が、対応するモジュラー多様体のコイカーラ次元 ≤ 0 を示すことの証明。
• ヤコビリフトを用いて、3つの新しい強反射的モジュラー形式の塔を構成すること。
• ボルヘルツ-エヌリューズ形式 $Φ_4$ やヨシカワの自己同型的判別式の明示的フーリエ展開を提供すること。
• 加法的ヤコビリフトによるこのような形式の構成に関する予想を提示すること。

提案手法

• コーエッカーの原理と除数の最小性に基づく新しい幾何的基準を用いて、除数が最小であるモジュラー形式として反射的モジュラー形式を定義する。
• 特異的重みのヤコビ形式から、強反射的モジュラー形式をヤコビリフト構成により生成する。
• 高ランクの形式を既知の例（$Φ_{12}$ や $Δ_5$）と関連付けるために、準プルバック技術を用いる。
• 反射的ベクトルとそれらのヒルツェブルーフ–マウムフォード体積を用いて、モジュラー多様体の除数構造を分析する。
• ワイル群と根系の構造を用いて、算術性とワイルベクトルの存在を検証する。
• 最初のフーリエ–ヤコビ係数をリフトすることで、自己同型形式の明示的フーリエ展開を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュラー形式のどのような幾何的条件が、それに対応するモジュラー多様体のコイカーラ次元 ≤ 0 を示すか？
• RQ2 ボルヘルツ-エヌリューズ形式 $Φ_4$ およびヨシカワの自己同型的判別式は、ヤコビリフトによって構成可能か？
• RQ3 ヒルツェブルーフ–マウムフォード体積は、反射的除数の単純さを測るのに果たす役割は何か？
• RQ4 除数が最も単純な形である強反射的モジュラー形式は、加法的ヤコビリフトとして得られるか？
• RQ5 どのような格子条件が、反射的除数の根系に対するワイルベクトルと算術的ワイル群の存在を保証するか？

主な発見

• 大きな重みを持つ強反射的モジュラー形式の存在は、それに対応するモジュラー多様体のコイカーラ次元が ≤ 0 であることを示す。
• 次元4、6、7の新しいモジュラー多様体が、コイカーラ次元0として構成され、カラビ＝ヤウ型である。
• ボルヘルツ-エヌリューズ形式 $Φ_4$ は、重み1、インデックス1のヤコビ形式のヤコビリフトとして明示的に構成される。
• デル・ペッツォ面のヨシカワの自己同型的判別式 $Φ_V$ は、特定のヤコビ形式のヤコビリフトとして実現される。
• $4A_1$-タワーには、重み10のイグーサモジュラー形式の平方根である $Δ_5$ が含まれる。
• 構成された各形式の除数は、最小のヒルツェブルーフ–マウムフォード体積を持つ反射的ベクトルによって生成され、幾何的単純性を示している。