[論文レビュー] Reflexivity and dualizability in categorified linear algebra

Martin Brandenburg, Alexandru Chirvăsitu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、完備線型圏（例えば、余代数の余加群圏や準正則層の圏）を含む、カテゴライズド線型代数における自己双対性と双対可能性を考察する。余代数の可算次元な場合、その余加群圏は常に自己双対的であり、かつ、十分な射影的対象を持つときかつそのときに限り双対可能であることが示され、これは半完全余代数の圏的特徴付けを提供する。さらに、特定のスタック（例えば、正の特性における半単純群の分類スタック）上の準正則層圏は双対可能でないが、ほとんど線型再帰的群による商スタック上のものは双対可能であることが示され、可算インデックス順序集合を持つアフィンインディアンスケームについてもテンソル性が確立される。

ABSTRACT

The "linear dual" of a cocomplete linear category $\mathcal C$ is the category of all cocontinuous linear functors $\mathcal C o \mathrm{Vect}$. We study the questions of when a cocomplete linear category is reflexive (equivalent to its double dual) or dualizable (the pairing with its dual comes with a corresponding copairing). Our main results are that the category of comodules for a countable-dimensional coassociative coalgebra is always reflexive, but (without any dimension hypothesis) dualizable if and only if it has enough projectives, which rarely happens. Along the way, we prove that the category $\mathrm{Qcoh}(X)$ of quasi-coherent sheaves on a stack $X$ is not dualizable if $X$ is the classifying stack of a semisimple algebraic group in positive characteristic or if $X$ is a scheme containing a closed projective subscheme of positive dimension, but is dualizable if $X$ is the quotient of an affine scheme by a virtually linearly reductive group. Finally we prove tensoriality (a type of Tannakian duality) for affine ind-schemes with countable indexing poset.

研究の動機と目的

• カテゴライズド線型代数の文脈において、どの完備線型圏が自己双対的または双対可能であるかを理解すること。
• 余加群圏における十分な射影的対象の存在といった構造的性質を用いて、双対可能性を特徴付けること。
• スタックやインディアンスケーム上の準正則層圏がいつ双対可能またはテンソル的であるかを特定すること。
• 可算インデックス順序集合を持つアフィンインディアンスケームに対して、タンナキアン双対性（テンソル性）を拡張すること。
• 特に正の特性における幾何的文脈において、導来的および非導来的双対可能性の対比を明確にすること。

提案手法

• 局所的コンパクトな線型圏と連続関手の2-圏、および $\boxtimes$-テンソル積を用いて、線型代数のカテゴライズ化を行う。
• 双対可能性を同型 $Σ ⊗ Σ^* \to \mathrm{End}(\u03a3)$ を通じて定義し、自己双対性を自然な写像 $\u03a3 \to (\u03a3^*)^*$ によって定義する。
• 代数に対するアイレンバーグ＝ウォーツの定理を適用して、加群圏の双対可能性を確立するが、余代数に対しては同様の定理が成立しないことと対比する。
• 特に射影的対象の存在を根拠として、幾何学的および表現論的基準を用いてスタック上の準正則層圏を分析する。
• 線型再帰的およびほとんど線型再帰的群に関する結果を応用し、商スタック圏の双対可能性を特定する。
• プロ代数からの準同型が極限圏間の対称モノイダル関手に対応することを示すことで、アフィンインディアンスケームのテンソル性（2アフィン性）を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 余代数上の余加群圏がいつ自己双対的または双対可能であるか？
• RQ2 スタック $X$ に対して、どのような幾何学的または表現論的条件が $\mathrm{Qcoh}(X)$ が双対可能または非双対可能であることを示唆するか？
• RQ3 余加群圏における十分な射影的対象の存在が、双対可能性とどのように関係するか？
• RQ4 商スタック $[X/G]$ 上の準正則層圏がいつ双対可能であるか？
• RQ5 アフィンインディアンスケームがいつテンソル的であるか、すなわちその準正則層圏がタンナキアン型再構成性質を満たすか？

主な発見

• 可算次元のコassociative余代数上の余加群圏は、常に自己双対的である。
• 余代数上の余加群圏が双対可能であるための必要十分条件は、十分な射影的対象を持つことであり、これは右半完全性と呼ばれる条件である。
• スキーム $X$ に正の次元の閉射影的部分スキームを含むならば、$\mathrm{Qcoh}(X)$ は双対可能でない。
• アフィンスキーム $X$ にほとんど線型再帰的群 $G$ が作用するとき、圏 $\mathrm{Qcoh}([X/G])$ は双対可能である。
• 可算インデックス順序集合を持つアフィンインディアンスケームはテンソル的である：その準正則層圏はタンナキアン再構成性質を満たす。
• 許容可能な可換プロ代数から対称モノイダル局所的コンパクト圏への関手は、完全忠実であり、これによりこのようなインディアンスケームの2アフィン性が確立される。