[論文レビュー] Refracted Levy processes and ruin

Andreas E. Kyprianou, Ronnie Loeffen|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2008

Stochastic processes and financial applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、閾値レベル b よりも高い状態で線形のドリフトを差し引く Lévy プロセス（反射Lévy過程）を用いて、リスク理論における ruin 問題を調査している。正のドリフト δ と閾値 b > 0 を持つスペクトル的に負の Lévy プロセスに対して、著者たちは ruin 確率および関連量の分析に不可欠な、反射過程の関数型に関する新しい恒等式を導出する。

ABSTRACT

Motivated by classical considerations from the theory of risk theory we investigate the problem of ruin for a so-called refracted Lévy process. The latter is a Lévy processes whose dynamics change by subtracting off a fixed linear drift (of suitable size) whenever the aggregate process is above a pre-specified level. More formally, whenever it exists, a refracted Lévy process is described by the unique weak solution to the stochastic differential equation dUt = −δ1 (Ut>b)dt + dXt where X = {Xt: t ≥ 0} is a Lévy process with law P and b,δ ∈ R such that the resulting process U may visit the half line (b, ∞) with positive probability. In the light of connection with a certain dividend payment strategy on risk processes, we are particularly interested in the case that X is spectrally negative, b> 0 and 0 < δ < E(X1). For that case we provide some new identities for certain functionals of the path of the refracted process which are of relevance to the ruin problem.

研究の動機と目的

• 超過閾値レベル b を超えるとダイナミクスが変化するリスク過程における ruin をモデル化・分析すること。
• b を超えると固定ドリフトが差し引かれる反射Lévy過程を組み込むことで、古典的リスク理論を拡張すること。
• 0 < δ < E(X₁) を満たすスペクトル的に負の Lévy プロセスに注目し、現実的な配当支払い戦略をモデル化すること。
• ruin 時刻とオーバーシュートの分布に関連する関数型に関する新しい恒等式を導出すること。
• より一般かつ柔軟な確率過程のクラスにおいて ruin 関連量を計算するための解析的ツールを提供すること。

提案手法

• X をスペクトル的に負の Lévy プロセスとするとき、SDE dU_t = −δ1_{U_t > b}dt + dX_t により反射Lévy過程 U_t を定義する。
• パスワイズ一意性と反射過程の存在を保証するため、弱解を用いる。
• フラクチュエーション理論とスケール関数を用いて、最初の通過時刻とオーバーシュートを分析する。
• パス分解技術を用いて、ruin 時刻とオーバーシュートの同時分布を含む恒等式を導出する。
• 過程のマルコフ性と空間同次性を活用して、関数型の明示的表現を導出する。
• 過程が b を正の確率で到達・通過できることを保証するため、条件 0 < δ < E(X₁) を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態に依存するドリフト（反射ダイナミクス）の導入が、Lévy リスクモデルにおける ruin 確率にどのように影響するか？
• RQ2 スペクトル的に負のジャンプを有する反射Lévy過程について、ruin 時刻とオーバーシュートの同時分布は何か？
• RQ3 ruin 関連量に関連する反射過程の関数型について、明示的恒等式を導出できるか？
• RQ4 閾値レベル b が、過程の挙動および ruin 発生の可能性にどのように影響するか？
• RQ5 条件 0 < δ < E(X₁) が、反射過程の長期的挙動および ruin 性質に与える影響は何か？

主な発見

• 本稿では、特に ruin 時刻とオーバーシュートの同時分布を含む、反射Lévy過程の関数型に関する新しい恒等式を確立した。
• 0 < δ < E(X₁) を満たすスペクトル的に負の Lévy プロセスに対して、反射過程は正の確率でレベル b を到達・通過でき、意味のある ruin 分析が可能である。
• スケール関数とフラクチュエーション理論の活用により、反射ダイナミクス下での ruin 関連関数型の明示的特徴付けが可能となった。
• 反射過程は二重の挙動を示す：b より下では標準的な Lévy プロセスとして、b より上では減少ドリフトを有する。
• 導出された恒等式は、一般化されたリスクモデルにおける ruin 確率や期待割引配当支払いの計算の基盤を提供する。
• 反射機構による状態依存ダイナミクスの組み込みにより、最適配当戦略の分析を支援するフレームワークを提供する。