[論文レビュー] Regenerative Composition Structures

Alexander Gnedin, Jim Pitman|ArXiv.org|Jul 22, 2003

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、最初の部分を除去した残差の構成が元の分布と同一となる再生成的性質を満たす整数のマルコフ連鎖的組成構造——再生成的組成構造——を導入する。著者らは、サブオルダータの範囲（再生成的確率的集合）を介した[0,∞) 上での確率的サンプリングによって、これらの構造が生じることを示し、関連するサブオルダータのLévyパラメータ（ドリフトとLévy測度）によって完全に特徴づけられることを示している。唯一の可逆的構造は、Bessel橋のギャップに相当するものである。

ABSTRACT

A new class of random composition structures (the ordered analog of Kingman's partition structures) is defined by a regenerative description of component sizes. Each regenerative composition structure is represented by a process of random sampling of points from an exponential distribution on the positive halfline, and separating the points into clusters by an independent regenerative random set. Examples are composition structures derived from residual allocation models, including one associated with the Ewens sampling formula, and composition structures derived from the zero set of a Brownian motion or Bessel process. We provide characterisation results and formulas relating the distribution of the regenerative composition to the L{é}vy parameters of a subordinator whose range is the corresponding regenerative set. In particular, the only reversible regenerative composition structures are those associated with the interval partition of $[0,1]$ generated by excursions of a standard Bessel bridge of dimension $2 - 2 α$ for some $α\in [0,1]$.

研究の動機と目的

• 再生成的性質を有する新しい確率的組成構造の定義と特徴づけを行い、キングマンの分割構造を順序付き設定に拡張すること。
• これらの構造を、指数分布からの確率的サンプリングと、独立な再生成的確率的閉集合によるクラスタリングを用いて表現すること。
• 組成の分布が、再生成的集合を定義するサブオルダータのLévyパラメータ（ドリフトとLévy測度）とどのように関係するかを特定すること。
• 一意に可逆的である再生成的組成構造を同定し、それらが次元$2-2\alpha$の標準Bessel橋のギャップによって生成される区間分割に一致することを示すこと。

提案手法

• 再生成的組成構造を、[0,∞) 上の指数分布からの点のサンプリングと、独立な再生成的確率的閉集合$\mathcal{R}$ を用いたクラスタリングによって定義する。
• マイソンヴェの定理を用いて、$\mathcal{R}$ を、定数独立増分を有する増加Lévy過程（サブオルダータ$(S_t)$）の閉じた範囲として表現する。
• 変換$\widetilde{\mathcal{R}} = 1 - \exp(-\mathcal{R})$ を用いて単位区間へ変換し、一様分布からのサンプリングを用いた順序付きペイントボックス表現を可能にする。
• 主要変数（例：$\widetilde{G}_{1n}, \widetilde{H}_{1n}$）のラプラス変換およびメリン変換を導出し、組成内のブロックサイズの分布を特徴づける。
• 有限組成における最初のブロックを前後する区間への三重分割を確立し、これらのサイズの同時モーメントを導出する。
• 非線形再帰関係と非線形変換を用いて、特徴づけ問題をHausdorffモーメント問題に還元し、Lévyデータを[0,1] 上の有限測度に符号化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再生成的組成構造のクラスは、確率過程およびLévyパラメータの観点からどのように特徴づけられるか？
• RQ2 再生成的組成構造は、確率的サンプリングと再生成的確率的集合を用いてどのように表現できるか？
• RQ3 どの組成構造が可逆的であり、その構造的形態は何か？
• RQ4 サブオルダータのLévyパラメータと組成構造のサンプリング公式の間にはどのような関係があるか？
• RQ5 どのような条件下で分割構造が再生成的再配置を許容し、それが一意的か？

主な発見

• すべての再生成的組成構造は、ドリフト$\tt{d}$ とLévy測度$\nu$ を持つサブオルダータの範囲である再生成的集合$\mathcal{R}$ から生じる。組成は、[0,∞) 上の指数分布からのサンプリングと、$\mathcal{R}$ を用いた点のグループ化によって形成される。
• 唯一の可逆的再生成的組成構造は、$\alpha \in [0,1]$ に対して次元$2-2\alpha$ の標準Bessel橋のギャップによって生成される[0,1] の区間分割に対応するものである。これは二パラメータ族の分割構造を含む。
• n個の組成における最初のブロックサイズの分布は、$\mathbb{E}(1 - \widetilde{G}_{1n})^{n-1} = \Phi(1)/\Phi(n)$ で特徴づけられる。ここで$\Phi(n)$ はLévy測度から導かれる正規化関数である。
• 単位区間の分解における最初のブロック、その直前および直後の区間のサイズの同時モーメントは、二項係数の和と$\Phi$関数を含む式で与えられ、ブロックサイズ確率の明確な解釈が可能である。
• 最初のブロックの構造的分布（要素1を含むクラスの頻度）は$H = \widetilde{H}_{1n}/(1 - \widetilde{G}_{1n})$ で与えられ、これは$\widetilde{G}_{1n}$ と独立であり、$\widetilde{\nu}$ と$\tt{d}$ を含む既知の分布を持つ。
• 二パラメータ族の分割構造において、正のパラメータを持つ各メンバーは一意な再生成的組成構造に対応し、関連する組成が可逆的であるための必要十分条件は、Bessel橋のギャップから生じることである。