[論文レビュー] Regime Switching Stochastic Volatility with Perturbation Based Option Pricing

Sovan Mitra|ArXiv.org|Apr 10, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 50被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、長期経済的状態を組み込むために、Fouqueの漸近展開技術を拡張した、ルール変動の確率的ボラティリティモデルにおける摂動に基づくオプション価格設定手法を提案する。市場状態に特化したボラティリティの平均を考慮することで、ブラック・ショールズ法と比較して30%、標準的なFouque法と比較して20%の価格誤差低減が達成され、S&P 500オプションにおいて顕著な精度向上が示された。

ABSTRACT

Volatility modelling has become a significant area of research within Financial Mathematics. Wiener process driven stochastic volatility models have become popular due their consistency with theoretical arguments and empirical observations. However such models lack the ability to take into account long term and fundamental economic factors e.g. credit crunch. Regime switching models with mean reverting stochastic volatility are a new class of stochastic volatility models that capture both short and long term characteristics. We propose a new general method of pricing options for these new class of stochastic volatility models using Fouque's perturbation based option pricing method. Using empirical data, we compare our option pricing method to Black-Scholes and Fouque's standard option pricing method and show that our pricing method provides lower relative error compared to the other two methods.

研究の動機と目的

• 短期的なダイナミクスと長期的な経済要因の両方を捉える、ルール変動の確率的ボラティリティモデルに対する解析的オプション価格設定手法の不足を解消すること。
• Fouqueの摂動に基づくオプション価格設定フレームワークを、平均回帰的確率的ボラティリティを伴うルールスイッチングに拡張すること。
• S&P 500指数オプションを用いて、提案手法をブラック・ショールズ法および標準的Fouque法と比較して実証的に検証すること。
• 異なるボラティリティ状態における相対誤差を比較することで、価格精度の向上を定量化すること。

提案手法

• スローな平均回帰的ボラティリティ過程を用いたマルチスケールアプローチを採用し、確率的ボラティリティにおけるFouqueの漸近展開法を適応する。
• 隠れたマルコフ状態変数に依存する長期ボラティリティ平均および回帰速度を許容することで、ルールスイッチングを導入する。
• 摂動展開における1次補正項 $ \tilde{C}_1 $ を導出する。この項は、状態依存のボラティリティリスクおよびスマイル効果を捉える。
• 複数の満期およびストライクにおける実証的S&P 500オプションデータを用いて、モデルパラメータをキャリブレーションする。
• オプション価格を級数展開として計算する：$ C = C_0 + \tilde{\rho} C_1 + \text{高次項} $、ここで $ C_0 $ はブラック・ショールズ価格、$ C_1 $ は状態特有の補正を含む。
• 経済的状態（例：「上昇」および「下降」状態）を2状態マルコフ連鎖でモデル化し、各状態に対して異なる $ \bar{\theta}_i $ および $ \bar{\rho}_i $ を設定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fouqueの摂動に基づくオプション価格設定法は、平均回帰的確率的ボラティリティを伴うルール変動のモデルに拡張可能か？
• RQ2 状態特有のボラティリティパラメータを組み込むことで、定数または非状態特異的確率的ボラティリティモデルと比較してオプション価格誤差が低減するか？
• RQ3 摂動法は、異なる経済的状態においてボラティリティスマイルおよびスケューを適切に捉えられるか？
• RQ4 状態ベースの $ \bar{\theta}_i $ を用いる場合と、一様なグローバルな $ \bar{\theta} $ を用いる場合とで、実証的価格精度にどの程度の向上が見られるか？

主な発見

• ルール変動摂動法により、S&P 500オプションにおける平均パーセンテージ価格誤差は6.9%に低下した。ブラック・ショールズ法の30.0%および標準的Fouque法の7.3%と比較して顕著な改善が得られた。
• 「下降」状態（2番目の状態）では、ブラック・ショールズ法の平均誤差は51.5%に上昇するが、状態ベースの手法は9.1%を維持し、市場ストレス時におけるロバスト性を示した。
• 1次補正項 $ \tilde{\rho} C_1 $ はボラティリティスマイル効果を捉えており、市場リスクおよびボラティリティと価格ショックの相関 $ \rho $ が高まるため、『下降』状態でより顕著に現れる。
• 複数のストライクおよび満期において、実証的オプション価格を良好に再現でき、価格パスは観測された市場データと密接に一致した。
• 状態特異的長期ボラティリティ平均 $ \bar{\theta}_i $ の導入により、特に高ボラティリティおよび市場ストレス時において、精度が顕著に向上した。
• 実証的結果により、『下降』状態ではボラティリティリスクが高くなることが確認され、モデルは $ \rho $ および $ \bar{\theta}_i $ の増加を通じてこれを捉えており、より良いスマイルおよびスケューのモデリングを実現した。