[論文レビュー] Region of Attraction for Power Systems using Gaussian Process and Converse Lyapunov Function -- Part I: Theoretical Framework and Off-line Study

Chao Zhai, Hung D. Nguyen|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2019

Gaussian Processes and Bayesian Inference参考文献 36被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、解析的リャプノフ関数を必要とせずに、逆リャプノフ定理とGP-UCBサンプリングを活用して、探索と活用のバランスをとることで、電力系における吸引領域（ROA）を推定する、新しいガウス過程（GP）ベースのフレームワークを提案する。この手法は、安定状態軌道から未知のリャプノフ関数を学習し、保証されたROA内で均衡点への確率的収束を達成する。従来の解析的リャプノフ関数手法と比較して、顕著に大きな推定領域を実現する。

ABSTRACT

This paper introduces a novel framework to construct the region of attraction (ROA) of a power system centered around a stable equilibrium by using stable state trajectories of system dynamics. Most existing works on estimating ROA rely on analytical Lyapunov functions, which are subject to two limitations: the analytic Lyapunov functions may not be always readily available, and the resulting ROA may be overly conservative. This work overcomes these two limitations by leveraging the converse Lyapunov theorem in control theory to eliminate the need of an analytic Lyapunov function and learning the unknown Lyapunov function with the Gaussian Process (GP) approach. In addition, a Gaussian Process Upper Confidence Bound (GP-UCB) based sampling algorithm is designed to reconcile the trade-off between the exploitation for enlarging the ROA and the exploration for reducing the uncertainty of sampling region. Within the constructed ROA, it is guaranteed in probability that the system state will converge to the stable equilibrium with a confidence level. Numerical simulations are also conducted to validate the assessment approach for the ROA of the single machine infinite bus system and the New England $39$-bus system. Numerical results demonstrate that our approach can significantly enlarge the estimated ROA compared to that of the analytic Lyapunov counterpart.

研究の動機と目的

• 既存のROA推定手法が解析的に導出されたリャプノフ関数に依存するという限界を解決すること。このような関数が得られないか、過剰に保守的であることが一般的である。
• システムダイナミクスからの安定状態軌道を用いてROAを構築するデータ駆動型フレームワークを開発すること。明示的な解析的リャプノフ関数の必要性を排除する。
• ガウス過程回帰による不確実性の定量化を組み込み、ユーザー指定の信頼水準に基づくROAの確率的保証を提供すること。
• ROAの拡大（活用）と未知領域の探索（不確実性の低減）のバランスを最適化するGP-UCBに基づくサンプリング戦略を設計し、効率的なROA拡大を実現すること。
• 既存のリャプノフ関数が利用可能な場合に、データに裏付けられた改良によって保守的である度合いを改善し、保証されたROAを拡張すること。

提案手法

• フレームワークは、安定状態軌道に基づいてリャプノフ関数の存在を保証する逆リャプノフ定理を用い、解析的構築の必要性を回避する。
• 未知のリャプノフ関数はガウス過程（GP）としてモデル化され、カーネル法と正則化を用いてサンプル軌道データから事後分布が学習される。
• 不確実性の低減（探索）とROA拡大（活用）のバランスを取るために、GP-UCBに基づくサンプリングアルゴリズムが繰り返し適用される。
• ROAは、学習されたGPによるリャプノフ関数の等高線集合として定義され、GPの平均と信頼区間から導かれる確率的境界が付与される。
• 計算された領域内の任意の状態に対して、システムが均衡点に収束する確率が少なくとも $1 - \delta$ であることを保証する。ここで $\delta$ はユーザーが定義する信頼パラメータである。
• RKHSノルムと集中不等式を用いてGP推定誤差の理論的境界が導出され、確率的ROA認証の有効性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガウス過程に基づくデータ駆動型非パラメトリック手法を用いて、解析的リャプノフ関数を必要とせずに電力系における吸引領域（ROA）を推定できるか？
• RQ2 サンプリングプロセス中に、不確実性の低減（探索）とROAの拡大（活用）のトレードオフを効果的に管理する方法は何か？
• RQ3 提案手法は、従来の解析的リャプノフ関数手法と比較して、保証されたROAをどの程度大きくできるか？
• RQ4 既存のリャプノフ関数が利用可能な場合に、このフレームワークを拡張してそのROAを拡大し、保守的である度合いを改善できるか？
• RQ5 リャプノフ関数推定における不確実性を考慮した場合、推定されたROAの確率的正しさに理論的保証はあるか？

主な発見

• 提案されたGPベースのROA推定手法は、IEEE 39バス系での検証を通じて、解析的リャプノフ関数と比較して顕著に大きな保証された吸引領域を実現した。
• 単一機器無限バス系およびニューエンギランド39バス系における数値シミュレーションにより、本手法は確率的収束保証（信頼水準 $1 - \delta$）を維持しながら、より大きなROAを達成していることが確認された。
• GP-UCBサンプリング戦略は、探索と活用のバランスを的確にとることに成功し、最小限のサンプリングポイントで効率的かつ効果的なROA拡大を実現した。
• 本手法は、厳密な確率的境界を提供する：計算された領域 $\Omega_{\delta,N}$ 内の任意の状態に対して、システムは確率 $1 - \delta$ 以上で均衡点に収束する。
• 既存のリャプノフ関数 $V^\star(\mathbf{x})$ が利用可能な場合、フレームワークはGPを用いて $\Delta V(\mathbf{x}) = V(\mathbf{x}) - V^\star(\mathbf{x})$ を学習することで、その保証されたROAを拡張でき、保守的である度合いを改善できる。
• 理論的分析により、推定されたリャプノフ関数 $V(\mathbf{x})$ がGP事後平均の周りの信頼区間内に高確率で存在することが確認され、等高線集合としてのROAの有効性が保証された。