[論文レビュー] Regional controllability of anomalous diffusion generated by the time fractional diffusion equations

Fudong Ge, YangQuan Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2015

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有界な制御作用素 $ B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^m, L^2(\Omega)) $ および非有界な $ B \notin \mathcal{L}(\mathbb{R}^m, L^2(\Omega)) $ の2つの場合を想定し、時間分数拡散方程式の領域的可制御性を調査する。Baldranの定理およびヒルベルト一意性法（HUM）を用いて、最小エネルギー領域的可制御性のための条件を確立し、異常拡散を支配する複雑な系における部分領域に対する最適制御の存在を証明する。

ABSTRACT

This paper is concerned with the investigation of the regional controllability of the time fractional diffusion equations. First, some preliminaries and definitions of regional controllability of the system under consideration are introduced, which promote the existence contributions on controllability analysis. Then we analyze the regional controllability with minimum energy of the time fractional diffusion equations on two cases: $B\in \mathbf{L}\left(\mathbf{R}^m, L^2(Ω) ight)$ and $B otin \mathbf{L}\left(\mathbf{R}^m, L^2(Ω) ight)$. In the end, two applications are given to illustrate our obtained results.

研究の動機と目的

• 整数階から時間分数拡散方程式への可制御性解析の拡張を図ること。
• 全システムの可制御性ではなく、状態空間の部分集合における可制御性である領域的可制御性を調査すること。
• 有界および非有界な制御作用素の2つの異なる場合における最小エネルギー領域的制御のための条件を確立すること。
• 工学的・物理的システムにおける異常拡散プロセスを制御するための理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 作用素 $ A $ が生成する正規連続半群を用いて、Caputoの分数階微分を用いた時間分数拡散系を定式化する。
• 制御作用素 $ B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^m, L^2(\Omega)) $ の場合にBaldranの定理を適用し、最小エネルギー制御の存在を証明する。
• 制御作用素 $ B \notin \mathcal{L}(\mathbb{R}^m, L^2(\Omega)) $ の場合に、特にデルタ関数による点制御を想定し、ヒルベルト一意性法（HUM）を用いる。
• Mittag-Leffler関数および固有関数展開を用いて、ヒルベルト空間 $ L^2(\Omega) $ 内の解および随伴作用素を表現する。
• 随伴系と等長写像を用いて、最適制御を最小エネルギー問題の解として導出する。
• 2つの応用を通じて結果を検証する：部分区間における分散制御、およびデルタ関数を用いた点制御。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御作用素が有界である場合、時間分数拡散方程式が最小エネルギーで領域的可制御となる条件は何か？
• RQ2 制御作用素が非有界（例えば、デルタ関数による点制御）である場合、領域的可制御性は達成可能か？
• RQ3 随伴作用素の構造およびMittag-Leffler関数が最適制御の存在に与える影響は何か？
• RQ4 部分領域 $ \omega \subset \Omega $ の幾何的性質は、弱可制御性または近似可制御性にどのような役割を果たすか？
• RQ5 この理論的枠組みは、分数階超拡散または観測可能性問題へ拡張可能か？

主な発見

• 制御作用素 $ B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^m, L^2(\Omega)) $ の場合、Baldranの定理により最小エネルギー領域的可制御性が保証され、最適制御の存在が保証される。
• 制御作用素 $ B \notin \mathcal{L}(\mathbb{R}^m, L^2(\Omega)) $ の場合、ヒルベルト一意性法（HUM）により、領域的可制御性のための最小エネルギー制御の存在が保証される。
• 例題4.1において、$ a_2 - a_1 \in \mathbb{Q} $ である場合、区間 $[0,1]$ 上では弱可制御でないが、$[a_1, a_2] \subset [0,1]$ 上では領域的可制御である。
• 点制御 $ Bu = u(t)\delta(x-b) $ の場合、最適制御は $ u^*(t) = (T-t)^{-0.3} \sum_{i=1}^\infty E_{0.7,0.7}(\lambda_i (T-t)^{0.7}) (z, \xi_i)_{L^2} \int_{a_1}^{a_2} \xi_i(x) dx $ として導出される。
• 随伴方程式 $ ^C D_t^{0.7} \varphi_1 = \partial_{xx} \varphi_1 + (T-t)^{-0.3} K_{0.7}^*(T-t) f(b) $ の解を用いて、最適制御が構成可能である。
• 最小エネルギー問題には少なくとも1つの最適解が存在する。これは、それぞれのケースに対して定理3.1および定理3.2によって確認されている。