[論文レビュー] Regionally proximal relation of order d is an equivalence one for minimal systems and a combinatorial consequence

Song Shao, Xiangdong Ye|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、最小的位相的力学系における順序 $d$ の領域的近接関係 ${\bf RP}^{[d]}$ が同値関係であることを証明し、以前の距離的系における結果を拡張する。さらに、${\bf RP}^{[d]}$ によって誘導される因子が最大の $d$ ステップニル因子であることを示し、組合せ論的帰結として、$\mathbb{Z}$ の動的シンデティック部分集合は、$\{0,1\}$ 係数を用いた整数の線形結合の集合としてシンデティックであることを導出する。

ABSTRACT

By proving the minimality of face transformations acting on the diagonal points and searching the points allowed in the minimal sets, it is shown that the regionally proximal relation of order $d$, $\RP^{[d]}$, is an equivalence relation for minimal systems. Moreover, the lifting of $\RP^{[d]}$ between two minimal systems is obtained, which implies that the factor induced by $\RP^{[d]}$ is the maximal $d$-step nilfactor. The above results extend the same conclusions proved by Host, Kra and Maass for minimal distal systems. A combinatorial consequence is that if $S$ is a dynamically syndetic subset of $\Z$, then for each $d\ge 1$, $$\{(n_1,\...,n_d)\in \Z^d: n_1\ep_1+... +n_d\ep_d\in S, \ep_i\in \{0,1\}, 1\le i\le d\}$$ is syndetic. In some sense this is the topological correspondence of the result obtained by Host and Kra for positive upper Banach density subsets using ergodic methods.

研究の動機と目的

• 最小的位相的力学系における順序 $d$ の領域的近接関係 ${\bf RP}^{[d]}$ が同値関係であることを確立すること。
• ${\bf RP}^{[d]}$ を用いた最大の $d$ ステップニル因子の特徴付けを、距離的系に限らない一般の最小系へ拡張すること。
• ホストとクラの結果を含む、複数のエルゴディック平均に関するエルゴディック理論的結果の位相的類似物を提供すること。
• $\mathbb{Z}$ の動的シンデティック部分集合に関する組合せ論的帰結を導出することにより、位相的力学系と加法的組合せ論を結びつけること。

提案手法

• 系の積空間における対角的点に作用する面変換の最小性を証明する。
• 最小集合内の点を特徴づけ、最小系における ${\bf RP}^{[d]}$ の推移性を示す。
• ${\bf RP}^{[d]}$ の最小系間の持ち上げ性質を用いて因子構造を確立する。
• エリス群作用と弱混合拡張の技法を適用し、ファイバー積における推移性を分析する。
• エルゴディック理論的道具の位相的類似物を用いて、力学的平行立体と均一性セミノルムの構造を活用する。
• ファイバー積における残渣集合の議論と帰納的構成を用い、$R^n_\pi$ in における推移点の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の最小系において、順序 $d$ の領域的近接関係 ${\bf RP}^{[d]}$ は、距離的系に限らず同値関係であるか？
• RQ2 特に $d$ ステップニル系に対して、エルゴディック理論における特徴的因子の位相的類似物は何か？
• RQ3 最小系の最大の $d$ ステップニル因子は、${\bf RP}^{[d]}$ を用いて特徴づけられるか？
• RQ4 ${\bf RP}^{[d]}$ の持ち上げが、$\mathbb{Z}$ の動的シンデティック部分集合にどのような組合せ論的性質をもたらすか？

主な発見

• ${\bf RP}^{[d]}$ が最小系において、最小的距離的系に限らず、すべての最小系で同値関係である。
• ${\bf RP}^{[d]}$ によって誘導される因子系は、元の最小的系の最大の $d$ ステップニル因子である。
• ${\bf RP}^{[d]}$ の最小系間の持ち上げ性質が保存されることにより、拡張においても因子構造が適切に保たれる。
• 任意の動的シンデティック部分集合 $S \subseteq \mathbb{Z}$ に対して、集合 $\{(n_1,\ldots,n_d) \in \mathbb{Z}^d : \sum_{i=1}^d \epsilon_i n_i \in S, \epsilon_i \in \{0,1\}\}$ は $\mathbb{Z}^d$ においてシンデティックである。
• RIC における弱混合拡張において、すべての $n \geq 1$ に対して、$R^n_\pi$ のすべての座標が単一のファイバー $\pi^{-1}(y)$ 内にある推移点の存在が確立された。
• 証明はエリス群作用と残渣集合の構成に依拠し、適切な開集合 $U$ に対して $\overline{\mathcal{T}(\{x'\} \times U)} = R^n_\pi$ が成り立つことを示す。