[論文レビュー] Registration-based model reduction in complex two-dimensional geometries

Tommaso Taddei, Lei Zhang|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2021

Model Reduction and Neural Networks参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、輪状領域や一般の2次元形状など、非自明な幾何構造を有する複雑な2次元パラメトリックPDEに対して、登録に基づくモデル還元フレームワークを提示する。スペクトル有限要素近似と極座標変換を用いた幾何形状に配慮した写像を導入することで、解多様体を線形圧縮に適した形に変換し、急峻な勾配や複雑な境界を有する問題において、低次元モデルの精度を顕著に向上させる。

ABSTRACT

We present a general -- i.e., independent of the underlying equation -- registration procedure for parameterized model order reduction. Given the spatial domain $Ω\subset \mathbb{R}^2$ and the manifold $\mathcal{M}= \{ u_μ : μ\in \mathcal{P} \}$ associated with the parameter domain $\mathcal{P} \subset \mathbb{R}^P$ and the parametric field $μ\mapsto u_μ \in L^2(Ω)$, our approach takes as input a set of snapshots $\{ u^k \}_{k=1}^{n_{ m train}} \subset \mathcal{M}$ and returns a parameter-dependent bijective mapping $Φ: Ω imes \mathcal{P} o \mathbb{R}^2$: the mapping is designed to make the mapped manifold $\{ u_μ \circ Φ_μ: \, μ\in \mathcal{P} \}$ more amenable for linear compression methods. In this work, we extend and further analyze the registration approach proposed in [Taddei, SISC, 2020]. The contributions of the present work are twofold. First, we extend the approach to deal with annular domains by introducing a suitable transformation of the coordinate system. Second, we discuss the extension to general two-dimensional geometries: towards this end, we introduce a spectral element approximation, which relies on a partition $\{ Ω_{q} \}_{q=1} ^{N_{ m dd}}$ of the domain $Ω$ such that $Ω_1,\ldots,Ω_{N_{ m dd}}$ are isomorphic to the unit square. We further show that our spectral element approximation can cope with parameterized geometries. We present rigorous mathematical analysis to justify our proposal; furthermore, we present numerical results for a heat-transfer problem in an annular domain, a potential flow past a rotating symmetric airfoil, and an inviscid transonic compressible flow past a non-symmetric airfoil, to demonstrate the effectiveness of our method.

研究の動機と目的

• 既存の登録ベースのモデル還元手法が単位正方形に微分同相である領域に限定されているという制限を解消すること。
• 輪状領域を極座標変換とスペクトル近似を用いて登録フレームワークに拡張すること。
• 任意の滑らかな境界を有する2次元幾何形状に一般化可能な分割型スペクトル有限要素法を構築すること。
• 複雑な領域においてKolmogorov N幅がゆっくり減衰する解多様体の有効な線形圧縮を可能にすること。
• 熱伝導、ポテンシャル流れ、衝撃形成を伴う超臨界流など、挑戦的なパラメトリックPDEに対して、本手法の有効性を示すこと。

提案手法

• 解多様体のより良い線形近似を実現するため、ドメインを再パラメトリクス化するパラメトリック全単射写像 $\Phi: \Omega \times \mathcal{P} \to \mathbb{R}^2$ を導入する。
• 輪状領域に対しては、領域 $\Omega$ を長方形の基準領域 $ (0,1) \times (-1/2, 1/2) $ に写像する極座標変換 $\Psi: \widehat{\Omega}_{\text{pol}} \to \Omega$ を適用する。
• 写像を $ \Phi = \Psi \circ \Phi_{\text{pol}} \circ \Lambda $ として構築し、ここで $ \Phi_{\text{pol}} = \text{id} + W_M \mathbf{a} $ であり、$ W_M $ は基準領域上の線形作用素である。
• 各領域 $ \Omega_q $ が単位正方形に微分同相であるような分割 $ \{\Omega_q\}_{q=1}^{N_{\text{dd}}} $ に基づくスペクトル有限要素近似を用いて、一般の2次元幾何形状を扱う。
• 写像された解 $ u_\mu \circ \Phi_\mu $ に特異値分解（POD）を適用し、低次元近似空間を構築する。
• RBF回帰を用いて、新しいパrameter値における写像係数 $ \mathbf{a}^\mu $ および解係数 $ \boldsymbol{\alpha}^\mu $ を予測する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位正方形に微分同相でない輪状領域に対しても、登録ベースのモデル還元を拡張可能か？
• RQ2 スペクトル有限要素法をどのように用いて、滑らかな境界を有する任意の2次元幾何形状への登録の一般化を実現できるか？
• RQ3 提案された登録フレームワークは、急峻な勾配や衝撃を有するパラメトリックPDEの低次元モデルの近似品質をどの程度向上させるか？
• RQ4 非線形性が強く、高精度なPDE（例：超臨界Euler流）に本手法を適用した場合、精度と効率を維持できるか？
• RQ5 幾何形状変換と領域分割が、低次元モデルの収束性および安定性に与える影響は何か？

主な発見

• 提案手法は、基準領域における極座標変換とスペクトル近似を用いることで、輪状領域への登録ベースのモデル還元を成功裏に拡張した。
• 非対称な空力形状を通過する超臨界流の例において、登録済みROMは登録なしのものと比較して、特に衝撃領域近傍で顕著に低い相対 $ L^2 $ 予測誤差を達成した。
• 超臨界流例における登録済み手法の平均相対 $ L^2 $ 投影誤差は、$ N = 20 $ モードで $ 10^{-3} $ 未満に低下した。
• 登録済みROMの相対予測誤差は、すべてのテストパrameterにおいて $ 10^{-3} $ 未満を維持し、外挿性能の優秀さを示した。
• 標準的なPODがKolmogorov N幅の減衰がゆっくりであるために失敗する複雑な幾何形状において、解多様体の有効な線形圧縮を可能にした。
• 数値結果により、写像 $ \Phi_\mu $ が解の特徴（例：衝撃波、境界層）を効果的に整列させ、線形近似に適した形にしていることが確認された。