[論文レビュー] Regression analysis with compositional data containing zero values

Michail Tsagris|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2015

Geochemistry and Geologic Mapping参考文献 13被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、ゼロ値を含む構成データに対する回帰分析に適した$α$-変換を提案し、ゼロ値の補完処理を回避する。Kullback-Leibler発散を最小化するように$α$パラメータを最適化することで、特に$α$が1に近い場合に、標準的な対数比変換よりも予測精度が向上し、応答変数および予測変数の両方のゼロ値を自然に扱える。

ABSTRACT

Regression analysis with compositional data containing zero values

研究の動機と目的

• 標準的な対数比変換が無効となるゼロ値を含む構成データに対する回帰分析の課題に対処すること。
• 従来の構成データ手法（対数比やディリクレ分布モデルなど）がゼロ値の補完を必要とするという制限を克服すること。
• 固定された対数比変換ではなく、データ駆動型のパワー変換を用いることで、回帰における予測精度を向上させること。
• 構成データが予測変数として用いられる場合にも$α$-変換を拡張すること。
• 等長対数比や加法的対数比とは異なる変換が、特に$α$がゼロでない場合に、より優れた予測性能を示す可能性を示すこと。

提案手法

• 構成データを変換単体に写像するため、データベースのパワー変換である$α$-変換$\mathbf{u} = \left(\frac{x_1^\alpha}{\sum x_j^\alpha}, \ldots, \frac{x_D^\alpha}{\sum x_j^\alpha}\right)$を適用する。
• 変換されたデータを$\mathbb{R}^d$に写像するため、線形変換$\mathbf{z} = \frac{1}{\alpha} \mathbf{H}(D\mathbf{u} - \mathbf{j}_D)$を用いる。ここで$\mathbf{H}$はヘルメルト部分行列である。
• 予測精度を向上させるために、観測値と当てはめられた値の間のKullback-Leibler発散を最小化することで、自由パラメータ$\alpha$を最適化する。
• 構成予測変数の場合は、多重共線性を扱い、予測精度を向上させるために、$α$-変換済みデータ上で主成分回帰（PCR）を適用する。
• 回帰モデルの適合値が単体空間内に留まるように、多変量ログットリンク関数を用いる。
• 調整済み$R^2$および平均二乗予測誤差（MSPE）などの指標を用いて、$α$-変換法と標準的な等長対数比（ILR）および加法的対数比（ALR）変換を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゼロ値を含む構成データに対する回帰分析において、データ駆動型パワー変換（$α$-変換）は、標準的な対数比法よりも予測精度を向上させるか？
• RQ2 ゼロ値が構成データに存在する場合、$α$の選択が予測性能にどのように影響するか？
• RQ3 $α$-変換は、従来の対数比法とは異なり、補完処理を要せず、ゼロ値を自然に扱えるか？
• RQ4 $α$-変換済み構成予測変数に対して主成分回帰（PCR）を適用した場合、標準回帰またはILRに基づくPCRよりも予測精度が向上するか？
• RQ5 ゼロ値が存在する状況で、$α = 0$（ILR）と$α \approx 1$（対数変換）の間で、予測性能に顕著な差が生じるか？

主な発見

• $α = 1$のとき、調整済み$R^2$は0.772から0.89に上昇し、平均二乗予測誤差（MSPE）は$α = 0$と比較して半分以下に削減された。
• ゼロ補完を適用した場合でさえ、$α = 1$の$α$-変換は、等長対数比変換（$α = 0$）よりも優れた予測精度を示した。
• 最も性能の優れたモデルは、$α = 1$で、$α$-変換済みデータから7つの主成分を用い、ガラスの種別情報を組み込んだもので、MSPEが最小であった。
• 頑健な補完法は$α$-変換の性能を向上させず、$α = 0$を用いた場合のMSPEは有意に高かった。
• 残差空間では外れ値が検出されたが、主成分空間では検出されず、$α$-変換が従来手法とは異なる方法で外れ値検出に影響を与えることが示された。
• 残差の正規性仮定は棄却された（p値 < 0.001）、が、独立性仮定は視覚的に妥当であり、モデルの予測妥当性を支持するものであった。