[論文レビュー] Regret-Optimal Full-Information Control.
本稿では、LQRコストの差（因果的コントローラと未来の摂動を事前に知っている非因果的コントローラの間）として定義される最悪ケースの後悔を最小化する、レジレント最適なフルインフォーメーションコントローラを提案する。この問題はネハリ近似問題に還元され、最適コントローラは標準のH₂状態フィードバック則と、2つのリャプノフ方程式を解いて得られる有限次元コントローラの和として得られる。このコントローラはH₂とH∞性能のバランスを図り、将来の摂動に対してロバストである。
We consider the infinite-horizon, discrete-time full-information control problem. Motivated by learning theory, as a criterion for controller design we focus on regret, defined as the difference between the LQR cost of a causal controller (that has only access to past and current disturbances) and the LQR cost of a clairvoyant one (that has also access to future disturbances). In the full-information setting, there is a unique optimal non-causal controller that in terms of LQR cost dominates all other controllers. Since the regret itself is a function of the disturbances, we consider the worst-case regret over all possible bounded energy disturbances, and propose to find a causal controller that minimizes this worst-case regret. The resulting controller has the interpretation of guaranteeing the smallest possible regret compared to the best non-causal controller, no matter what the future disturbances are. We show that the regret-optimal control problem can be reduced to a Nehari problem, i.e., to approximate an anticausal operator with a causal one in the operator norm. In the state-space setting, explicit formulas for the optimal regret and for the regret-optimal controller (in both the causal and the strictly causal settings) are derived. The regret-optimal controller is the sum of the classical $H_2$ state-feedback law and a finite-dimensional controller obtained from the Nehari problem. The controller construction simply requires the solution to the standard LQR Riccati equation, in addition to two Lyapunov equations. Simulations over a range of plants demonstrates that the regret-optimal controller interpolates nicely between the $H_2$ and the $H_\infty$ optimal controllers, and generally has $H_2$ and $H_\infty$ costs that are simultaneously close to their optimal values. The regret-optimal controller thus presents itself as a viable option for control system design.
研究の動機と目的
- 標準のH₂およびH∞コントローラの限界を克服するため、フルインフォーマション制御における後悔に基づく新たな性能基準を導入すること。
- すべての有界エネルギー摂動に対して最悪ケースの後悔を最小化し、将来の摂動実現の内容にかかわらずロバスト性を保証すること。
- 因果的および厳密因果的状況下でのレジレント最適コントローラの明示的状態空間式を導出すること。
- レジレント最適コントローラがH₂およびH∞性能の両方において近似的に最適なコストを達成することを示すこと。
提案手法
- 因果的コントローラのLQRコストと、未来の摂動を事前に知っている非因果的（予知可能）コントローラのLQRコストとの差として後悔を定式化する。
- レジレント最適制御問題をネハリ問題に還元する：因果的演算子で非因果的演算子を作用素ノルムにおいて近似する問題に変換する。
- 標準のH₂状態フィードバックゲインと、ネハリ解から得られる有限次元コントローラの和として、レジレント最適コントローラの明示的状態空間表現を導出する。
- 標準のLQRリャプノフ方程式に加え、2つの追加のリャプノフ方程式を解いて、レジレント最適コントローラを構築する。
- ネハリ問題の解を用いて、すべての有界エネルギー摂動列に対して最悪ケースの後悔を最小化するコントローラであることを保証する。
- さまざまなプラントに対してシミュレーションを実施し、H₂およびH∞コストを比較することでコントローラの性能を検証する。
実験結果
リサーチクエスチョン
- RQ1未来の摂動を知っている非因果的コントローラに対して、最悪ケースの後悔を最小化する因果的コントローラをフルインフォーマション設定で設計可能か？
- RQ2古典的H₂およびH∞コントローラと比較して、レジレント最適コントローラの性能トレードオフはどのように異なるか？
- RQ3レジレント最適コントローラの明示的状態空間構造は何か？ そして、その効率的な計算方法は？
- RQ4レジレント最適制御問題は、ネハリ問題のようなよく知られた演算子近似問題に還元可能か？
- RQ5レジレント最適コントローラは、H₂およびH∞コストの両方において同時に最適に近い性能を達成するか？
主な発見
- レジレント最適コントローラは、標準のH₂状態フィードバック則と、2つのリャプノフ方程式を解いて得られる有限次元コントローラの和として明示的に構成される。
- 最適な後悔値は、すべての有界エネルギー摂動に対して最小の最悪ケース後悔を保証するネハリ問題の解によって決定される。
- コントローラ構築には、標準のLQRリャプノフ方程式と2つの追加のリャプノフ方程式の解き方のみが必要であり、計算が効率的に行える。
- シミュレーションの結果、レジレント最適コントローラはH₂およびH∞コストの両方において、それぞれの最適値に近く、良好な性能トレードオフを達成していることが示された。
- レジレント最適コントローラは、H₂およびH∞最適コントローラの間を滑らかに補間し、実用的な制御システム設計のためのロバストな代替手段を提供する。
- 本手法により、後悔最小化と古典的ネハリ問題との間の明確な理論的関係が確立され、ロバスト制御設計のための新たな理論的枠組みが提供された。
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