[論文レビュー] Regular and Biregular module algebras

Christian Lomp|ArXiv.org|Sep 30, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ホフプ・モジュール代数およびそのスモーズ積が正則または双正則であるための条件を確立し、ヴォン・ノイマン正則なスキュー群環に関する結果を一般化する。$H$-モジュール代数 $A$ が正則であるための必要十分条件は、固定環 $A^H$ が正則であり、不変関手が $A^H$-加群と $A$ を $A\#H$-加群として見たときのウィザウアー族の間で同値を誘導することである。双正則性についても同様の結果が、包拡ホフプ・アレブロイド $A^e\bowtie H$ を用いて得られる。主な貢献は、不変量と加群論的同値を用いたホフプ・モジュール代数における正則性の構造的特徴付けである。

ABSTRACT

Motivated by the study of von Neumann regular skew groups as carried out by Alfaro, Ara and del Rio in 1995 we investigate regular and biregular Hopf module algebras. If $A$ is an algebra with an action by an affine Hopf algebra $H$, then any $H$-stable left ideal of $A$ is a direct summand if and only if $A^H$ is regular and the invariance functor $(-)^H$ induces an equivalence of $A^H$-Mod to the Wisbauer category of $A$ as $A# H$-module. Analogously we show a similar statement for the biregularity of $A$ relative to $H$ where $A^H$ is replaced by $R=Z(A)\cap A^H$ using the module theory of $A$ as a module over $A\otimes A^{op} \bowtie H$ the envelopping Hopf algebroid of $A$ and $H$. We show that every two-sided $H$-stable ideal of $A$ is generated by a central $H$-invariant idempotent if and only if $R$ is regular and $A_m$ is $H$-simple for all maximal ideals $m$ of $R$. Further sufficient conditions are given for $A# H$ and $A^H$ to be regular.

研究の動機と目的

• ヴォン・ノイマン正則なスキュー群環に関する結果をホフプ・モジュール代数の文脈に一般化すること。
• モジュール $A$ が $H$-作用をもつとき、その固定環 $A^H$ の正則性および不変関手の振る舞いを用いて、$A$ の正則性を特徴付けること。
• 包拡ホフプ・アレブロイド $A^e\bowtie H$ と中心不変部分環 $R = Z(A) \cap A^H$ を用いて、双正則モジュール代数への特徴付けを拡張すること。
• スモーズ積 $A\#H$ および固定環 $A^H$ の正則性を積分とトレース 1 の中心的元を用いて十分条件として与えること。
• 適切なホフプ代数作用のもとで、$A$ からその不変部分環 $A^H$ への単射性の転送を調べること。

提案手法

• 環準同型 $\Psi: B \to \mathrm{End}_k(A)$ を通じた $A\subseteq B$ の拡大に加え、$A$ が左 $B$-加群として循環的であるという追加のモジュール構造を用いる。
• ウィザウアー族 $\sigma[M]$ とモジュールの正則性の概念を用いる。ここでモジュール $M$ が正則であるとは、$\sigma[M]$ に属するすべてのモジュールが平坦であるか、または $\sigma[M]$ 内のすべての短完全列が純粋であることを意味する。
• 双正則性を調べるため、包拡ホフプ・アレブロイド $A^e\bowtie H$ を用い、特徴付けにおいて $A^H$ の代わりに $R = Z(A) \cap A^H$ を用いる。
• ホフプ代数 $H$ に右積分が存在し、$S(t)\cdot z = 1$ を満たす中心的元 $z$ が存在する場合、$A\#H$ の分離性と正則性を確立する。
• ブレットナー＝モンゴメリー双対性を用いて $({A\#H})\#H^*$ と $M_n(A)$ を関係づけ、$A\#H$ から $A$ への正則性の転送を可能にする。
• 加群論的同値と関手的同型 $\mathrm{Hom}_B(A, -) \cong (-)^B$ を用い、不変量と加群構造を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $H$-モジュール代数 $A$ がスモーズ積 $A\#H$ に関して正則であるための条件は何か？
• RQ2 固定環 $A^H$ が正則であるのはいつか？ そしてこれは $A$ が $A\#H$-加群としての構造とどのように関係するか？
• RQ3 $A$ の双正則性は、$R = Z(A) \cap A^H$ の正則性および $R$ の極大イデアル $m$ に対する $A_m$ の $H$-単純性とどのように関係するか？
• RQ4 $A$ が正則で、$H$ がトレース 1 の中心的元をもつ右積分で作用するとき、$A\#H$ が正則であるための条件は何か？
• RQ5 拡大が平坦かつ自己射的であるという仮定のもとで、$A$ から $A^H$ への単射性はどのように転送されるか？

主な発見

• $H$-モジュール代数 $A$ が $A\#H$-加群として正則であるための必要十分条件は、$A^H$ が正則であり、不変関手 $(-)^H$ が $A^H$-Mod と $A$ を $A\#H$-加群として見たときのウィザウアー族の間で同値を誘導することである。
• すべての両側 $H$-安定イデアルが中心的 $H$-不変イデアルをもつべきであるための必要十分条件は、$R = Z(A) \cap A^H$ が正則であり、$R$ のすべての極大イデアル $m$ に対して $A_m$ が $H$-単純であることである。
• $H$ が局所有限ホフプ代数であり、右積分 $t$ が $S(t)\cdot z_t = 1$ を満たす中心的 $z_t \in A$ が存在するならば、$A\subseteq A\#H$ は局所有限分離的であり、$A$ が正則ならば $A\#H$ も正則である。
• $H$ がココミュタティブであるか、$z_t \in Z(A)^H$ であるならば、$A$ が正則で、$H$ がこのような中心的元をもつトレース 1 の作用をするとき、$A\#H$ は正則である。
• $A$ が正則で、$A\#H$-加群として左自己射的であるならば、$H$ が右積分 $t$ をもち、$A$ が $S(t)\cdot z = 1$ を満たす中心的元 $z$ をもつならば、$A^H$ も正則かつ左自己射的である。
• $H$ が有限次元かつコセミシンプルであるとき、ブレットナー＝モンゴメリー双対性と同型 $({A\#H})\#H^* \cong M_n(A)$ を用いることで、$A\#H$ の正則性は $A$ の正則性を含意する。