[論文レビュー] Regular and exact (virtual) double categories

Patrick Schultz|arXiv (Cornell University)|May 4, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、プロファンクターとプロアロウ装置の設定において、古典的な正則および完全カテゴリの一般化として、仮想双双関手圏における正則および完全構造を導入する。これはCatにおける双関数的・全関手的因子化に類似する因子化系を確立し、この枠組みにおける完全性がウッドの公理5と一致し、きついクライスリ対象の存在と同値であることを証明する。これにより、形式的圏論における主要な構成が統一される。

ABSTRACT

We propose definitions of regular and exact (virtual) double categories, proving a number of results which parallel many basic results in the theory of regular and exact categories. We show that any regular virtual double category admits a factorization system which generalizes the factorization of a functor between categories into a bijective-on-objects functor followed by a fully-faithful functor. Finally, we show that our definition of exact double category is equivalent to an axiom proposed by Wood, and very closely related to the "tight Kleisli objects" studied by Garner and Shulman.

研究の動機と目的

• 古典的な正則および完全カテゴリの階層を仮想双双関手圏およびプロアロウ装置の設定に拡張すること。
• 正則仮想双双関手圏を定義し、Catにおける双関数的／全関手的因子化を一般化する因子化系を確立すること。
• 完全仮想双双関手圏を定義し、ウッドの公理5およびガーナー＝シュルマンのきついクライスリ対象と同値であることを示すこと。
• プロアロウと射の間の哲学的差異を尊重する形式的圏論の枠組みを提供すること。

提案手法

• 仮想双双関手圏におけるモノイドの崩壊を、余同型化とクライスリ対象の一般化として導入する。
• 集合におけるエピ／モノ因子化およびCatにおけるBO／FF因子化を一般化する因子化系の存在によって、正則仮想双双関手圏を定義する。
• 崩壊セルの普遍性を用いて、モノイドがプロアロウを通る普遍因子化を許容する条件を特徴付ける。
• モノイドとその普遍モジュール（左および右）の理論を用い、崩壊セルとクライスリおよびエイレンバーグ＝ムーア対象を関連付ける。
• プロアロウ表現と崩壊セルを通る因子化の同値性を用いて、ウッドの公理5との主要な同値性を証明する。
• フレームド2-圏と仮想装置の同値性を用い、結果を2-圏的設定から双双関手的設定へと移行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な正則および完全カテゴリの概念を仮想双双関手圏の設定にどのように一般化できるか。
• RQ2 仮想双双関手圏に移行する際、正則圏における因子化系の適切な一般化は何か。
• RQ3 仮想双双関手圏における完全性の特徴づけは、ウッドの公理5およびきついクライスリ対象の理論と整合するか。
• RQ4 モノイドの崩壊は、完全カテゴリにおける余同型化と類似する統一的カテゴリカル構成として機能するか。

主な発見

• 任意の正則仮想双双関手圏は、Catにおける双関数的／全関手的因子化を一般化する因子化系を備える。
• 仮想双双関手圏におけるモノイドの崩壊は、左および右モジュールを含む普遍性によって特徴づけられ、プロアロウを通る普遍因子化に対応する。
• 仮想双双関手圏における完全性は、ウッドの公理5と同値であり、これは任意のモノイドがクライスリ対象およびエイレンバーグ＝ムーア対象を備えることを主張する。
• 崩壊セルはカルテジアンであり、$ M \cong c_M(1,i) \odot c_M(i,1) $ に当たる標準的同型に対応し、モノイド因子化と関連する。
• 左$ M $-モジュールを崩壊セルによって普遍的に表現するプロアロウの存在により、任意の埋め込みが崩壊を通じて一意に因子化され、その普遍性が確立される。