[論文レビュー] Regular Bipartite Graphs And Their Properties

Vivek S. Nittoor|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2012

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ひとこと要約

本稿では、特に2-正則の場合に注目して、ラベル付きで非同型なr-正則な二部グラフを体系的に列挙するための新規な対称置換木（SPT(m)）の抽象化を導入する。2m個の頂点を持つすべての非同型な2-正則な二部グラフを生成する完全なアルゴリズムを提示し、分割に基づく列挙を用いて、適合する置換および自己同型群の式を導出し、このようなグラフの最大の周長が2mであることを証明する。

ABSTRACT

We introduce a new notation for representing labeled regular bipartite graphs of arbitrary degree. Several enumeration problems for labeled and unlabeled regular bipartite graphs have been introduced. A general algorithm for enumerating all non-isomorphic 2-regular bipartite graphs for a specified number of vertices has been described and a mathematical proof has been provided for its completeness. An abstraction of m Symmetric Permutation Tree in order to visualize a labeled r-Regular Bipartite Graph with 2m vertices and enumerate its automorphism group has been introduced. An algorithm to generate the partition associated with two compatible permutations has been introduced. The relationship between Automorphism Group and permutation enumeration problem has been used to derive formulae for the number of compatible permutations corresponding to a specified partition.

研究の動機と目的

• 2m個の頂点を持つ非同型な2-正則な二部グラフを体系的に全列挙する一般アルゴリズムの開発。
• ラベル付きr-正則な二部グラフの可視化および列挙ツールとしての対称置換木（SPT(m)）の導入。
• 正則な二部グラフにおける自己同型群と置換列挙の間の数学的枠組みの確立。
• 与えられた頂点サイクルの分割に対応する適合する置換の数の式の導出。
• 2m個の頂点を持つ2-正則な二部グラフの最大周長の特定。

提案手法

• m個の要素のすべての置換を表現・列挙するための対称置換木（SPT(m)）を導入し、グラフ列挙の基盤を提供する。
• 手続きPによる再帰的バックトラッキングを用いて、すべてのm!個の置換を体系的に生成し、リーフノードと置換の1対1対応による完全性を保証する。
• 各列と各行の和がrに等しくなるように、ラベル付きr-正則な二部グラフを表現するためのバイ・隣接行列を用いる。
• バイ・隣接行列の行および列の置換によるグラフ間の同型を定義し、非同型グラフのフィルタリングを可能にする。
• サイクル分割β ∈ P₂(m)に基づいて、適合する置換の式を導出し、置換構造とグラフの自己同型群との関連を確立する。
• 2-正則グラフにおけるサイクル長が分割の成分と関連することを示すために、既知のサイクル定理を適用し、各成分qᵢに対してサイクル長2qᵢを有する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2m個の頂点を持つ非同型な2-正則な二部グラフの完全な集合は何か。また、どのように体系的に列挙できるか。
• RQ2 ラベル付きr-正則な二部グラフの自己同型群は、置換構造を用いてどのように列挙され、特徴づけられるか。
• RQ3 正則な二部グラフにおける適合する置換とサイクル分割の関係は何か。
• RQ4 2m個の頂点を持つ2-正則な二部グラフの最大周長は何か。
• RQ5 任意のrおよびmに対して、すべての非同型なr-正則な二部グラフを列挙する一般アルゴリズムを構築可能か。

主な発見

• アルゴリズムESPT(m)は、リーフノードと置換の1対1対応による証明により、m個の要素のすべてのm!個の置換を正しく列挙する。
• 2m個の頂点を持つ2-正則な二部グラフの到達可能な最大周長は2mであり、これはグラフが長さ2mの単一のサイクルである場合に達成される。
• Ψ(β)に同型な2-正則な二部グラフにおいて、サイクル長は正確に{2qᵢ}である。ここでqᵢは分割β ∈ P₂(m)の成分である。
• 与えられた分割βに対応する適合する置換の数は、自己同型群と置換列挙の関係を用いて導出される。
• 対称置換木SPT(m)は、ラベル付きr-正則な二部グラフおよびその対称性の可視化と体系的列挙のための完全で体系的なフレームワークを提供する。
• 本稿は、特にr = 2およびr = 3の場合に、最大周長を持つr-正則な二部グラフを探索する基盤となるフレームワークを確立する。