[論文レビュー] Regular characters of groups of type A_n over discrete valuation rings

Roi Krakovski, Uri Onn+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2016

Finite Group Theory Research参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、奇数の特徴を持つ有限の剰余体をもつ完備離散付値環上での一般線型群および特殊線型群、ユニタリ群の正則非可約表現を構成する。これらの表現の次数に対する明示的で一様な公式を提示し、表現ゼータ関数を計算することで、エンノラ双対性を確立し、リー代数の特性および群論的降下を用いて特殊線型およびユニタリの場合へ結果を拡張する。

ABSTRACT

Let O be a complete discrete valuation ring with finite residue field k of odd characteristic. Let G be a general or special linear group or a unitary group defined over O and let $\mathfrak{g}$ denote its Lie algebra. For every positive integer l, let $K^l$ be the l-th principal congruence subgroup of G(O). A continuous irreducible representation of G(O) is called regular of level l if it is trivial on $K^{l+1}$ and its restriction to $K^l/K^{l+1} \simeq \mathfrak{g}(k)$ consists of characters with G(k)-stabiliser of minimal dimension. In this paper we construct the regular characters of G(O), compute their degrees and show that the latter satisfy Ennola duality. We give explicit uniform formulae for the regular part of the representation zeta functions of these groups.

研究の動機と目的

• 有限の剰余体をもつ完備離散付値環上のA_n型群の連続的非可約正則表現を構成すること。
• これらの正則表現の次数を計算し、群の型にわたる一様性を確立すること。
• これらの群の正則部分の表現ゼータ関数に対する明示的公式を導出すること。
• 導来部分群およびリー代数への制限を分析することにより、理論を特殊線型およびユニタリ群へ拡張すること。
• これらの群の文脈において、エンノラ双対性が表現ゼータ関数の文脈で成立することを検証すること。

提案手法

• 群 $\mathbf{G}(\mathfrak{o})$ の主合同部分群 $\mathsf{K}^\ell$ を用いて表現のレベルを定義し、リー代数 $\mathfrak{g}(k)$ を通じてその構造を分析する。
• 正則性は特性多項式と最小多項式の一致によって定義される $\mathfrak{g}(k)$ 内の正則元の引き戻しとして正則特性を構成する。
• $\mathbf{G}(k)$--equivariant 同型 $\mathfrak{g}(k) \to \mathfrak{g}(k)^\vee$（$\mathfrak{g}(k)$ のポンティリュー双対）を用いて、特性をより高い合同レベルへ持ち上げる。
• 随伴作用および軌道構造を用いて、その安定化部分群と型 $\tau$ を用いて正則特性を分類し、分割型からの組合せ論的データを用いる。
• $\mathbf{G}'(k)$-軌道と行列式条件の整合性を保証するため、$\mathbf{G}'(\mathfrak{o}_m)$ から $\mathbf{G}'(k)$ への還元写像の全射性を確立する。
• 軌道型 $\tau$ における和分を用いてゼータ関数を導出し、次数、軌道数、補正因子 $u_{\varepsilon_{\mathbf{G}}}^\tau(q)$ および $\iota(\tau, q - \varepsilon_{\mathbf{G}})$ を組み込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限の剰余体をもつ離散付値環上での $\mathbf{G}(\mathfrak{o})$（$\mathbf{G} = \mathbf{GL}_n, \mathbf{GU}_n$）の正則非可約表現を、どのように系統的に構成できるか？
• RQ2 レベル $\ell$ の正則表現の次数に対する明示的公式は、$n$、$q$、および軌道型 $\tau$ を用いてどのように表されるか？
• RQ3 $\mathbf{G}(\mathfrak{o})$ と $\mathbf{G}'(\mathfrak{o})$ の表現ゼータ関数の関係は何か？この設定においてエンノラ双対性は成立するか？
• RQ4 特殊線型またはユニタリ群への制限が、正則特性の数と構造に与える影響は何か？
• RQ5 $\mathfrak{g}(k)$ および $\mathfrak{g}'(k)$ における軌道数と安定化部分群の大きさは、正則表現の列挙にどのように影響するか？

主な発見

• 正則特性 $\chi$ の $\mathbf{G}^\prime(\mathfrak{o}_{\ell+1})$ における次数は、$\chi(1) = q^{\binom{n}{2}(\ell-1)} \frac{v_{\varepsilon_{\mathbf{G}}}(q)}{u_{\varepsilon_{\mathbf{G}}}^{\tau}(q) \iota(\tau, q - \varepsilon_{\mathbf{G}})}$ で与えられる。
• 型 $\tau$ の正則特性の数は、$q^{(n-1)(\ell-1)} u_{\varepsilon_{\mathbf{G}}}(q) \frac{\iota(\tau, q - \varepsilon_{\mathbf{G}})}{q - \varepsilon_{\mathbf{G}}} \cdot q^{-1} \prod_d \binom{\sum_e \tau_{d,e}}{\tau_{d,1}, \tau_{d,2}, \ldots} \binom{w_d(q)}{\sum_e \tau_{d,e}}$ である。
• 正則表現ゼータ関数 $\mathbf{G}^\prime(\mathfrak{o})$ は $\sum_{\ell=1}^\infty \zeta^{\mathrm{reg}}_{\mathbf{G}^\prime(\mathfrak{o}_{\ell+1})}(s)$ で与えられ、$\iota(\tau, q - \varepsilon_{\mathbf{G}})^2 / (q - \varepsilon_{\mathbf{G}})$ および次数の逆数を $s$ 乗した項を含む明示的公式を持つ。
• $\mathfrak{g}^\prime(k)$ における型 $\tau$ の $\mathbf{G}^\prime(k)$-軌道の数は、トレース条件と写像 $\mathfrak{g}(k) \to \mathfrak{g}^\prime(k)$ の商の性質により、$\mathfrak{g}(k)$ における数の $q^{-1}$ 倍である。
• エンノラ双対性は、$\mathbf{G}(\mathfrak{o})$ および $\mathbf{G}^\prime(\mathfrak{o})$ のゼータ関数において成立しており、ゼータ関数の公式における対称的構造によって裏付けられる。
• $\mathbf{G}^\prime(\mathfrak{o}_m) \to \mathbf{G}^\prime(k)$ の還元写像は中心化部分群上で全射であり、$\mathbf{G}^\prime(k)$-軌道が剰余体から正しく持ち上がることを保証する。