[論文レビュー] Regular Combinators for String Transformations

Rajeev Alur, Adam Freilich+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2014

semigroups and automata theory参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、選択、分割和、反復和、左加法的分割和、関数の和、連結和という最小限のコンビネータの組み合わせを用いて、機械に依存しない代数的特徴付けを提示する。これらは、双方向有限状態トランスデューサーまたはMSO定義可能なグラフ変換で計算可能なすべての関数を捉える。主な貢献は、可換でないモノイドを含む任意のモノイド上での正則関数の完全かつ最小の組み合わせ的基盤を提供することであり、逆転やコピーといった複雑な文字列変換の宣言的記述を可能にする。

ABSTRACT

We focus on (partial) functions that map input strings to a monoid such as the set of integers with addition and the set of output strings with concatenation. The notion of regularity for such functions has been defined using two-way finite-state transducers, (one-way) cost register automata, and MSO-definable graph transformations. In this paper, we give an algebraic and machine-independent characterization of this class analogous to the definition of regular languages by regular expressions. When the monoid is commutative, we prove that every regular function can be constructed from constant functions using the combinators of choice, split sum, and iterated sum, that are analogs of union, concatenation, and Kleene-*, respectively, but enforce unique (or unambiguous) parsing. Our main result is for the general case of non-commutative monoids, which is of particular interest for capturing regular string-to-string transformations for document processing. We prove that the following additional combinators suffice for constructing all regular functions: (1) the left-additive versions of split sum and iterated sum, which allow transformations such as string reversal; (2) sum of functions, which allows transformations such as copying of strings; and (3) function composition, or alternatively, a new concept of chained sum, which allows output values from adjacent blocks to mix.

研究の動機と目的

• 正則言語の正則表現に類似した、機械に依存しない代数的特徴付けを提供すること。
• 文字列からモノイド値へのすべての正則関数を構成可能な、最小限のコンビネータ集合を同定すること。可換でないモノイドを含む。
• 古典的な一方向トランスデューサーでは表現できない自然な文字列変換（例：逆転、コピー）を捉えるために、正則関数の理論を可換モノイドを超えて拡張すること。
• 文書処理、プログラム検証、文字列変換学習への実用的応用を支援する、表現力の基盤を形式的に定式化すること。
• 隣接するブロック間での出力の混合を可能にするために、連結和コンビネータを導入し、その必要性を正当化すること。

提案手法

• 基本関数を、基本言語の文字列からモノイド値への定数写像として定義し、曖昧なパースを回避する。
• コアコンビネータを導入：条件付き選択（f ▹ g）、分割和（f ⊕ g）、反復和（∑f）。これらはそれぞれ、和集合、連結、Kleene-* の一般化であり、一意なパース制約を備える。
• 文字列の逆転など、両端からの処理を必要とする変換をサポートするため、分割和と反復和の左加法的バージョンを拡張する。
• 文字列セグメントのコピーと複製を可能にするために、関数の和コンビネータを導入する。
• 隣接する処理ブロック間での出力値の混合を可能にするために、連結和コンビネータ（関数合成）を導入し、非連続な入力セグメントにまたがる複雑なデータフローを実現する。
• 形状に基づく分解とレジスタ状態の追跡を用いた形式的証明により、表現力の完全性を示す。すべての正則関数、特に双方向的または非決定的動作を要する関数が、これらのコンビネータで構成可能であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換でないモノイド出力も含めた正則文字列変換は、最小限の代数的かつ機械に依存しないコンビネータ集合によって特徴付け可能か？
• RQ2 一方向トランスデューサーでは表現できない変換（例：文字列の逆転、コピー）を表現するために、どのような追加コンビネータが必要か？
• RQ3 複数の入力セグメントおよび出力ブロックにまたがる複雑なデータフローを可能にしつつ、曖昧なパースの概念をどのように維持できるか？
• RQ4 連結和を含むコンビネータ集合は、任意のモノイド上でのすべての正則関数を完全に捉えるために必要かつ十分か？
• RQ5 この基盤に基づいて、正しく構築された文字列変換を可能にする宣言的言語としての文書処理言語を構築可能か？

主な発見

• 文字列からモノイド値への正則関数のクラスは、選択、分割和、反復和、左加法的分割和、関数の和、連結和という有限個のコンビネータの組み合わせによって完全に特徴付けられる。
• 可換モノイドの場合、すべての正則関数は選択、分割和、反復和のみで構成可能であり、一意なパースと合成に関する閉包性が保証される。
• 非可換モノイドの場合、左加法的分割和、関数の和、連結和という追加コンビネータが、すべての正則文字列変換（逆転、コピーを含む）を表現するために必要かつ十分である。
• 連結和コンビネータは、隣接するブロック間での出力の混合を可能にするが、これは標準的な合成や連結ではサポートされない機能である。
• 表現力の完全性の証明は、トランスデューサ動作の形状に基づく分解と、レジスタ状態と入力セグメントの相互作用を形式的更新式で追跡する手法に依存する。
• このフレームワークは、文書処理のための宣言的言語の基盤を提供し、文字列変換学習、Webアドレスのクリーニング、プログラム検証への応用が期待される。