[論文レビュー] Regular Dirichlet subspaces and Mosco convergence

Liping Li, Xiucui Song|arXiv (Cornell University)|May 3, 2015

Matrix Theory and Algorithms参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、1次元の非可約な強局所的ディリクレ形式の正則ディリクレ部分空間について、モスコ収束が特徴的集合の収束によって示されることを確立している。主な結果は、モスコ収束が一様性や正則性といったグローバルな性質を保存しないこと、例えば非正則な形が正則な形に収束する例や逆に正則な形が非正則な形に収束する例によって示されている。

ABSTRACT

In this paper, we shall explore the Mosco convergence on regular subspaces of one-dimensional irreducible and strongly local Dirichlet forms. We find that if the characteristic sets of regular subspaces are convergent, then their associated regular subspaces are convergent in sense of Mosco. Finally, we shall show some examples to illustrate that the Mosco convergence does not preserve any global properties of Dirichlet forms.

研究の動機と目的

• 1次元非可約強局所的ディリクレ形式の正則ディリクレ部分空間が、モスコの意味で収束するための条件を調査すること。
• 関連する拡散過程の正則性や非正則性といったグローバルな性質が、モスコ収束によって保存されるかどうかを特定すること。
• モスコ収束がディリクレ形式のグローバルなパスワイズ性質を保存しないことを示す明示的な反例を構成すること。
• 正則部分空間の文脈において、特徴的集合の収束とモスコ収束の関係を明確にすること。

提案手法

• 著者たちは、スケーリング関数と特徴的集合の理論を用いて、1次元非可約強局所的ディリクレ形式の正則ディリクレ部分空間を分析する。
• 標準的基準を用いてモスコ収束を定義する：弱収束列に沿ったエネルギー形式のliminfと強収束列に沿ったlimsup。
• 特徴的集合の収束が、関連する正則部分空間のモスコ収束を示すことを示している。
• レベーグ＝スタイリージェス測度と、端点付近で積分が発散する単調増加関数を用いて、再帰性／非再帰性および正則性を制御する反例を構成している。
• 1次元拡散過程が正則であるための必要十分条件は、両端点が有限時間内に到達可能でないことであり、これはスケーリング関数が速さ測度に関して可積分であることと関係している。
• Corollary 3.3 および Theorem 4.2 を適用して、特徴的集合が変化するディリクレ形式の系列のモスコ収束を検証している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴的集合の収束が、1次元非可約強局所的ディリクレ形式における正則ディリクレ部分空間のモスコ収束を示す条件は何か？
• RQ2 正則ディリクレ部分空間のモスコ収束は、関連するハント過程の正則性を保存するか？
• RQ3 非正則なディリクレ形式の系列が、モスコの意味で正則な極限に収束することは可能か？
• RQ4 正則なディリクレ形式の系列が、モスコの意味で非正則な極限に収束することは可能か？
• RQ5 スケーリング関数と速さ測度は、正則部分空間の正則性およびモスコ収束にどのように影響するか？

主な発見

• 1次元非可約強局所的ディリクレ形式において、正則ディリクレ部分空間のモスコ収束は、その特徴的集合の収束によって示される。
• 特徴的集合が収束するとき、関連する正則部分空間は、フルディリクレ形式にモスコの意味で収束する。
• 非正則なディリクレ形式の系列が、モスコの意味で正則な極限に収束することができ、正則性が保存されないことを示している。
• 逆に、正則なディリクレ形式の系列が、モスコの意味で非正則な極限に収束することができ、モスコ収束がグローバルな性質を保存しないことを示している。
• 1次元拡散過程の正則性は、端点が有限時間内に到達可能かどうかに依存し、これはスケーリング関数が速さ測度に関して可積分かどうかに依存する。
• 端点付近で発散する積分を用いた明示的構成により、所望の再帰性／非再帰性および正則性を持つディリクレ形式を構築でき、モスコ収束の安定性に対する反例が可能になる。