[論文レビュー] Regular infinite dimensional Lie groups

Andreas Kriegl, Peter W. Michor|ArXiv.org|Jan 2, 1998

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用数 33

ひとこと要約

この論文は、リー代数曲線を群曲線に写す滑らかな発展作用素を持つ正則無限次元リー群—すなわち、古典的リー理論に類似した強固な微分幾何学を備える—ことを確立する。主な貢献は、正則構造群をもつ主 bundle 上の平坦接続が水平foliationに統合可能であることを証明することであり、単連結群からのリー代数準同型が、像群が正則である限りリー群準同型に上昇可能であることを示すことである。

ABSTRACT

Regular Lie groups are infinite dimensional Lie groups with the property that smooth curves in the Lie algebra integrate to smooth curves in the group in a smooth way (an `evolution operator' exists). Up to now all known smooth Lie groups are regular. We show in this paper that regular Lie groups allow to push surprisingly far the geometry of principal bundles: parallel transport exists and flat connections integrate to horizontal foliations as in finite dimensions. As consequences we obtain that Lie algebra homomorphisms intergrate to Lie group homomorphisms, if the source group is simply connected and the image group is regular.

研究の動機と目的

• 古典的リー理論の制限を超える無限次元リー群の幾何学的理論を構築すること。
• 多くの無限次元リー群における指数写像の不成立と統合不能性の問題を扱うこと。
• 滑らかな発展作用素を持つ正則リー群が、驚くほど完全な微分幾何学を許容することを示すこと。
• 正則構造群をもつ主 bundle 上の平坦接続が水平 foliation に統合可能であることの証明。
• 単連結正則リー群からのリー代数準同型が、像群が正則であればリー群準同型に統合可能であることの確立。

提案手法

• 局所凸空間上の滑らかな写像を扱うため、[4] の便利な微分法の枠組みを採用する。
• リー代数の曲線を群の曲線に統合する滑らかな発展作用素の存在によって正則リー群を定義する。
• 主 bundle と接続を用いて、対数微分のためのムーラー＝カルタン方程式を導出する。
• 発展作用素が随伴作用とリー括弧を含む微分方程式を満たすことを証明する。
• C∞(R, g) および C∞(R, G) 上の半直積構造を構成し、ループ群および関連群の正則性を示す。
• 右対数微分 δr を用いて発展写像の核を特定し、それが正則リー群であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則リー群をもつ主 bundle の幾何学は、無限次元正則リー群へと拡張可能か？
• RQ2 無限次元リー代数間のリー代数準同型が、どのような条件下でリー群準同型に統合可能か？
• RQ3 リー群に滑らかな発展作用素が存在する場合、平坦接続の統合可能性が保証されるか？
• RQ4 ループ群上の発展写像の核は正則リー群か？
• RQ5 便利な微分法の枠組みは、正則リー群の理論をどのように支援するか？

主な発見

• 正則構造群をもつ主 bundle 上の平坦接続は、有限次元の場合に一般化された水平 foliation に統合可能である。
• 単連結正則リー群からのリー代数準同型は、像群が正則であればリー群準同型に統合可能である。
• リー代数 g における R に値をとる滑らかな曲線の群 C∞(R, g) は、点ごとの乗法に関して正則リー群である。
• C∞(R, G) 上の発展作用素は Evolr_C∞(R,G) = C∞(R, Evolr_G) と与えられ、積構造と整合的であることが示された。
• 発展写像 evolr_G: C∞(R, g) → G の核は、点ごとの乗法に関して正則リー群である C∞((S1,1),(G,e)) に同型である。
• 部分群 C∞((S1,1),(G,e)) は C∞(S1, G) の閉正規部分群であり、C∞(S1, G) は C∞((S1,1),(G,e)) ⋊ G に同型である。