[論文レビュー] Regular operators between non-commutative $L_p$-spaces

Gilles Pisier|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 1993

Advanced Banach Space Theory参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、超有限なフォン・ノイマン代数に付随する非可換 $L_p$-空間間の正則作用素を導入し、バナッハ格子上の正則写像の古典的概念を一般化する。写像が正則であることと、有界で完全正値な写像の線型結合であることとは同値であり、カルデロンの複素補間法を用いて等長的補間恒等式 $R_p = (R_\infty, R_1)^\theta$ が証明される。ここで $ heta = 1/p$ である。

ABSTRACT

We introduce the notion of a regular mapping on a non-commutative $L_p$-space associated to a hyperfinite von Neumann algebra for $1\le p\le \infty$. This is a non-commutative generalization of the notion of regular or order bounded map on a Banach lattice. This extension is based on our recent paper [P3], where we introduce and study a non-commutative version of vector valued $L_p$-spaces. In the extreme cases $p=1$ and $p=\infty$, our regular operators reduce to the completely bounded ones and the regular norm coincides with the $cb$-norm. We prove that a mapping is regular iff it is a linear combination of bounded, completely positive mappings. We prove an extension theorem for regular mappings defined on a subspace of a non-commutative $L_p$-space. Finally, let $R_p$ be the space of all regular mappings on a given non-commutative $L_p$-space equipped with the regular norm. We prove the isometric identity $R_p=(R_\infty,R_1)^θ$ where $θ=1/p$ and where $(\ .\ ,\ .\ )^θ$ is the dual variant of Calderón's complex interpolation method.

研究の動機と目的

• バナッハ格子における正則（順序有界）作用素の概念を非可換 $L_p$-空間へ一般化すること。
• 非可換 $L_p$-空間間の作用素における正則ノルムを $1 \leq p \leq \infty$ に対して定義し、それらを研究すること。
• 正則作用素が有界で完全正値な写像の線型結合として特徴づけられることを確立すること。
• 非可換 $L_p$-空間の部分空間に定義された正則写像の拡張定理を証明すること。
• 正則作用素の空間 $R_p$ の複素補間構造を特定し、$R_p = (R_\infty, R_1)^\theta$ かつ $ heta = 1/p$ を示すこと。

提案手法

• 先行研究におけるベクトル値 $L_p$-空間に基づき、非可換性を考慮した順序有界性の一般化を用いて、非可換 $L_p$-空間上の正則作用素を定義する。
• 適切な双対性と近似性質の存在を保証するため、超有限なフォン・ノイマン代数の枠組みを用いる。
• 正則作用素が有界で完全正値な写像の有限線型結合として特徴づけられることを示し、構造的分解を確立する。
• カルデロンの複素補間法の双対的変種を用いて、補間空間 $R_p = (R_\infty, R_1)^\theta$ を分析する。
• $ heta = 1/p$ のとき、補間ノルムが正則ノルムと一致することを検証することで、等長的恒等式 $R_p = (R_\infty, R_1)^\theta$ を証明する。
• 非可換 $L_p$-空間の部分空間に定義された正則作用素が、元の正則ノルムを保ったまま全空間へ正則に拡張可能であることを確立する拡張定理を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ格子上の正則作用素の古典的概念を非可換 $L_p$-空間へどのように一般化できるか。
• RQ2 非可換 $L_p$-空間間の正則作用素が完全正値写像の観点からどのように正確に特徴づけられるか。
• RQ3 極端な場合 $p=1$ および $p=\infty$ において、正則ノルムと $cb$-ノルムの関係は何か。
• RQ4 正則作用素の空間 $R_p$ の複素補間構造は何か。
• RQ5 非可換 $L_p$-空間の部分空間に定義された正則作用素は、正則ノルムを保ったまま拡張可能か。

主な発見

• 非可換 $L_p$-空間間の線形作用素が正則であることと、有界で完全正値な写像の有限線型結合であることとは同値である。
• 極端な場合、正則ノルムは $cb$-ノルムと一致する：$p=1$ および $p=\infty$ のとき、正則作用素はちょうど完全有界作用素である。
• 正則作用素の空間 $R_p$ は等長的補間恒等式 $R_p = (R_\infty, R_1)^\theta$ を満たし、ここで $ heta = 1/p$ であり、$(\cdot, \cdot)^\theta$ はカルデロンの複素補間法の双対的変種を表す。
• 拡張定理が確立された：非可換 $L_p$-空間の部分空間に定義された任意の正則作用素は、同じ正則ノルムを保ったまま全空間へ正則に拡張可能である。
• 正則ノルム $R_p$ は複素補間ノルムと同値であり、補間構造の双対性と整合性が確認された。
• 本結果により、非可換 $L_p$-空間における正則作用素の理論が、非可換関数解析における完全有界写像と補間空間の理論と統合された。