[論文レビュー] Regular poles for spinor $L$-series attached to split Bessel models of $\mathrm{GSp}(4)$

Mirko Rösner, Rainer Weissauer|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非アーチメデス的局所体 $k$ 上の $\mathrm{GSp}(4,k)$ の既約な滑らかな表現に対して、分解型ベッセル模型を備えた場合のピアチェツキ＝シャポー $L$-因子の正則部分を決定する。$P_3$-理論とホモロジー代数を用いて、ベッセルモジュールを分類し、正則 $L$-因子が分解型ベッセル模型の選び方に依存しないことを示し、長年の予想をこの場合に確認する。

ABSTRACT

For irreducible smooth representations $Π$ of $\mathrm{GSp}(4,k)$ over a non-archimedean local field $k$, Piatetskii-Shapiro and Soudry have constructed an $L$-factor depending on the choice of a Bessel model. It factorizes into a regular part and an exceptional part. We determine the regular part for the case of split Bessel models.

研究の動機と目的

• 非アーチメデス的局所体上での $\mathrm{GSp}(4)$ の表現の分解型ベッセル模型に対するピアチェツキ＝シャポー $L$-因子の正則部分を決定すること。
• 正則 $L$-因子が分解型ベッセル模型の選び方に依存しないことを確立し、理論における主要な予想を解決すること。
• 特に分解型の場合に、$\mathrm{GSp}(4,k)$ の既約表現 $\Pi$ に対するベッセルモジュール $\tilde{\Pi}$ を分類すること。
• 正則 $L$-因子をベッセルモジュールの正規化された完全商を介して $L(s, \mu \otimes M)$ に結びつけること。
• 一般表現に対してノヴォドヴォルスキーの $L$-因子と整合すること、非最大特徴的表現に対してラングランズパラメータと整合することを確認すること。

提案手法

• $P_3$-理論とホモロジー代数の技法を用いて、$TS$-モジュールとしてのベッセルモジュール $\widetilde{\Pi} = \Pi_{\widetilde{R},\Lambda}$ の構造を研究する。
• 正規化された完全商 $M = \nu^{-3/2} \otimes \widetilde{\Pi} / \widetilde{\Pi}^S$ を用いて、正則 $L$-因子を $L(s, \mu \otimes M)$ に結びつける。
• 誘導表現へのフィルトレーションを用い、シーゲル＝ヤコエツモジュール $J_P(\Pi)$ から生じる拡張を分析する。
• ベッセルモジュールを体系的に計算するために、函手 $\beta_{\rho}$, $\beta^{\rho}$ およびメリン函手 $M_{\rho}$ を用いる。
• ロバーツとシュミットの分類結果（[RS16], [RS07]）および [ST94] からの標準的表現を用いて、状況を列挙する。
• モノドロミー定理および $\pi_0(\delta_P^{-1/2} \otimes \widetilde{\Pi})$ の成分を用いて、モジュール構造を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分解型ベッセル模型を備えた $\mathrm{GSp}(4)$ の表現に対するピアチェツキ＝シャポー $L$-因子の正則部分は何か？
• RQ2 正則 $L$-因子は分解型ベッセル模型の選び方に依存しないか？
• RQ3 分解型の場合に、$\mathrm{GSp}(4,k)$-表現のベッセルモジュール $\widetilde{\Pi}$ はどのように分類できるか？
• RQ4 一般表現に対して正則 $L$-因子はノヴォドヴォルスキーの $L$-因子 $L^{\mathrm{Nov}}(s,\Pi,\mu)$ と一致するか？
• RQ5 非最大特徴的表現に対して、正則 $L$-因子はラングランズパラメータとどのように関係するか？

主な発見

• 正則 $L$-因子 $L^\mathrm{PS}_{\mathrm{reg}}(s,\Pi,\mu,\Lambda)$ は、定理 3.40 で示されるように、分解型ベッセル模型の選び方に依存しない。
• 正則 $L$-因子は $L(s, \mu \otimes M)$ で与えられ、ここで $M = \nu^{-3/2} \otimes \widetilde{\Pi} / \widetilde{\Pi}^S$ はベッセルモジュールの正規化された完全商である。
• 次数 1 および 0 の正規化されたベッセルモジュール $\delta_P^{-1/2} \otimes \widetilde{\Pi}$ の完全な分類が、それぞれ表 6 および表 7 に提示されている。
• 一般表現 $\Pi$ に対して、$L^\mathrm{PS}$-因子はノヴォドヴォルスキーの $L$-因子 $L^{\mathrm{Nov}}(s,\Pi,\mu)$ と一致する。このことは論文で確認されている。
• 非最大特徴的表現 $\Pi$ に対して、$L^\mathrm{PS}(s,1,\Lambda)$-因子はロバーツとシュミットの分類によるラングランズパラメータに関連する $L$-因子と一致する。
• 例外的因子は分解型ベッセル模型の選び方に依存せず、[W17] で既に知られているため、全 $L^\mathrm{PS}$-因子がモデルの選びに依存しないことが完成する。