[論文レビュー] Regular polynomial interpolation and approximation of global solutions of linear partial differential equations

Joerg Kampen|ArXiv.org|Jul 9, 2008

Numerical Methods and Algorithms参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、楕円型、放物型、および双曲型系に対する事前推定を活用して、線形偏微分方程式（PDE）のグローバル解を近似する再帰的で正則な多項式補間法を提案する。この手法は、補間点におけるPDE構造を保つ多項式族を構築し、解の正則性に敏感な誤差推定を達成することで収束を実現し、スパースグリッドやモンテカルロ法などの高次元スケールのソルバーと互換性を持つ。

ABSTRACT

We consider regular polynomial interpolation algorithms on recursively defined sets of interpolation points which approximate global solutions of arbitrary well-posed systems of linear partial differential equations. Convergence of the 'limit' of the recursively constructed family of polynomials to the solution and error estimates are obtained from a priori estimates for some standard classes of linear partial differential equations, i.e. elliptic and hyperbolic equations. Another variation of the algorithm allows to construct polynomial interpolations which preserve systems of linear partial differential equations at the interpolation points. We show how this can be applied in order to compute higher order terms of WKB-approximations of fundamental solutions of a large class of linear parabolic equations. The error estimates are sensitive to the regularity of the solution. Our method is compatible with recent developments for solution of higher dimensional partial differential equations, i.e. (adaptive) sparse grids, and weighted Monte-Carlo, and has obvious applications to mathematical finance and physics.

研究の動機と目的

• 制限された補間点配置を要しない、安定的で再帰的な多項式補間アルゴリズムを構築し、線形PDEのグローバル解を近似すること。
• 補間された多項式が離散的補間点においても元の線形PDE系と同一の構造的性質を満たすように保証すること。
• 楕円型、双曲型、放物型PDEの標準的クラスに対する事前境界から誤差推定を導出し、近似誤差を解の正則性に依存させる。
• スパースグリッドや重み付きモンテカルロなどの現代的数値技法と統合することで、高次元問題への適用を可能にすること。
• 高次WKB近似の計算を拡張し、放物型方程式の基本解に対する高次の項を、正確な微分係数近似により得ること。

提案手法

• 多変数多項式の再帰的構築を用い、各既存の多項式を追加の補間点におけるPDE系を満たすように拡張する。
• 補間点集合に制約がない多変数設定へのニュートン型補間の一般化を実現し、単調性と安定性を確保する。
• アルゴリズムはベクトル値関数に適応され、目的関数が線形PDE系を満たす場合、補間多項式も補間点において同一のPDE系を満たすことを保証する。
• 誤差推定は、楕円型や双曲型系などの標準的PDEクラスに対する事前境界から導出され、近似誤差と解の滑らかさの関係を明示する。
• 放物型方程式に対しては、10階微分まで正確に近似することで、基本解の高次WKB展開の計算が可能になる。
• 局所的多項式近似を互いに交わらない補間点集合に分割し、グローバル解に再構成するための部分的並列処理とパッチワーク処理をサポートする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制限のない補間点選択を許容する再帰的多項式補間スキームを設計し、線形PDEのグローバル解を近似可能か？
• RQ2 補間プロセスが離散点における元のPDE構造をどのように保証できるか、支配的系との一貫性を確保できるか？
• RQ3 真の解の正則性を反映する誤差推定を、多項式近似に対してどのように導出できるか？
• RQ4 本手法は、スパースグリッドや重み付きモンテカルロなどの高次元数値ソルバーとどの程度統合可能か？
• RQ5 本手法を、放物型PDEの基本解に対するWKB展開の高次項を計算するための拡張に応用可能か？

主な発見

• 楕円型や双曲型方程式に対する事前推定を補足することで、再帰的多項式補間は適切に定式化された線形PDE系のグローバル解に収束する。
• 誤差境界は明示的に導出され、解の正則性に依存しており、滑らかさが高いほど誤差が小さくなる。
• モデル問題 f(x) = 1/(1+x) において、係数 a_i は i が増加するにつれて絶対値が減少し、数値的安定性を示している。
• 10階微分まで正確に近似することで、線形放物型方程式の基本解に対するWKB展開を最大5次まで高精度に計算可能である。
• アルゴリズムは部分的並列処理と局所近似のパッチワーク処理をサポートし、補間点集合の合併に基づくグローバル補間多項式の構築が可能である。
• 本手法は、適応的スパースグリッドや重み付きモンテカルロなどの高度な数値技法と互換性があり、高次元設定における実用性が向上する。