[論文レビュー] Regular realizability problems and regular languages

Alexander A. Rubtsov|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2015

semigroups and automata theory参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、正則実現可能性（RR）問題のアルゴリズム的複雑性を調査する。RR問題の目的は、DFA もしくは NFA で与えられる正則言語と固定された正則フィルタ言語の共通部分集合が空でないかを判定することである。本研究では二分法を確立する。決定的RR問題では、フィルタが「容易」（有界）か「困難」（ユニバーサルに似た）かに応じて、複雑性は L-完全 または NL-完全 となる。一方、非決定的RR問題は、空でないフィルタに対して常に NL-完全 である。

ABSTRACT

We investigate regular realizability (RR) problems, which are the problems of verifying whether intersection of a regular language -- the input of the problem -- and fixed language called filter is non-empty. We consider two kind of problems depending on representation of regular language. If a regular language on input is represented by a DFA, then we obtain (deterministic) regular realizability problem and we show that in this case the complexity of regular realizability problem for an arbitrary regular filter is either L-complete or NL-complete. We also show that in case of representation regular language on input by NFA the problem is always NL-complete.

研究の動機と目的

• フィルタ言語の構造に基づいて、正則実現可能性（RR）問題のアルゴリズム的複雑性を分類すること。
• 計算複雑性の観点から、「容易」と「困難」な正則フィルタの違いを調査すること。
• L ≠ NL 予想の下で、決定的および非決定的RR問題の関係を調査すること。
• RR問題と一般化された非決定的オートマトン（GNA）の間の関係を確立し、複雑性を分析する計算モデルを提供すること。
• L ≠ NL の下で、正則フィルタに対して RR(F) と RRⁿ(F) の複雑性が異なるかどうかを特定すること。

提案手法

• 決定的および非決定的正則実現可能性問題（RR(F) および RRⁿ(F)）を、DFA もしくは NFA で与えられる正則言語と固定されたフィルタ言語 F の共通部分集合の空でない性質として定義する。
• 対数空間還元を用いて、異なるRR問題の複雑性を比較し、フィルタ間の支配関係の概念を導入する。
• 決定的有限状態写像（DFST）を導入し、F₁ ≤dfst F₂ を「あるDFST T が存在して F₁ = T(F₂) となる」と定義する。これにより、フィルタ間の構造的関係を定義する。
• 任意の正則言語をDFSTによってシミュレートできるフィルタを「困難」とし、u₁*…uk* の形の有界言語を「容易」として特徴付ける。
• RR(F)問題を捉える一般化された非決定的オートマトン（GNA）モデルを構築し、アドバイステープにフィルタ F の語を含める。
• RR(F) が対応するGNAが認識する言語へ対数空間還元可能であり、逆にそれも成り立つことを証明し、複雑性の等価性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則フィルタ F に対して、決定的正則実現可能性問題 RR(F) のアルゴリズム的複雑性は何か？
• RQ2 RR(F) の複雑性は、有界性やユニバーサル性といったフィルタ F の構造的性質にどのように依存するか？
• RQ3 L ≠ NL 予想の下で、正則フィルタに対して RR(F) と RRⁿ(F) の複雑性に分離があるか？
• RQ4 フィルタ間の支配関係は、決定的有限状態写像によって特徴付けられるか？
• RQ5 一般化された非決定的オートマトン（GNA）は、RR問題のモデリングと分析において果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の正則フィルタ F に対して、決定的正則実現可能性問題 RR(F) は L-完全 または NL-完全 である。
• 正則フィルタ F が「容易」（つまり、有界で、u₁*…uk* の形）であることは、RR(F) が L に属することと同値であり、任意の正則言語をDFSTでシミュレートできる（「困難」）ことは、RR(F) が NL-完全 であることと同値である。
• 空でない任意の正則フィルタ F に対して、非決定的正則実現可能性問題 RRⁿ(F) は、フィルタ構造にかかわらず常に NL-完全 である。
• F が容易なフィルタであれば、L ≠ NL を仮定すると、RR(F) と RRⁿ(F) は対数空間還元で同値ではなく、両者の問題クラス間に厳密な分離が存在する。
• 一般化された非決定的オートマトン（GNA）モデルは、RR(F) を対数空間還元で同値に特徴付けることができ、自動機的技法による複雑性解析を可能にする。
• DFSTの使用により、フィルタの支配関係の構造的特徴付けが可能となり、F₁ ≤dfst F₂ ならば RR(F₁) ≤log RR(F₂) が成り立つ。これにより、異なるフィルタ間での複雑性比較が可能になる。