[論文レビュー] Regular Separability of Parikh Automata

Lorenzo Clemente, Wojciech Czerwiński+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2016

semigroups and automata theory被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、半線形な受理条件を備えた非決定的有限オートマトン（パーシュ・オートマトン）の正則分離問題の決定可能性を示している。これは、関連するベクトル集合の単項分離問題への帰着によって達成される。主な貢献は、$ olimits\mathcal{C}$-パーシュ・オートマトンにおける正則分離問題の決定可能性を保証する一般化された帰着を示したことである。この帰着は、$ olimits\mathcal{C}$ がアフィン関数の逆像に関して有効に閉じている場合に成立し、これは半線形集合およびベクトル加算システム（VAS）の到達可能性集合に対して成り立つ。

ABSTRACT

We investigate a subclass of languages recognized by vector addition systems, namely languages of nondeterministic Parikh automata. While the regularity problem (is the language of a given automaton regular?) is undecidable for this model, we show surprising decidability of the regular separability problem: given two Parikh automata, is there a regular language that contains one of them and is disjoint from the other?

研究の動機と目的

• パーシュ・オートマトンが受理する言語の正則分離問題の決定可能性を調査すること。パーシュ・オートマトンは、ベクトル加算システム（VAS）言語の部分クラスである。
• このクラスでは正則性問題が決定不能であるという課題に直面しているが、正則分離問題は非正則クラスにおいてめったに見られない決定可能な性質である。
• 既存のVAS到達可能性集合の単項分離問題に関する結果を、パーシュ・オートマトンにおける正則分離問題のより広範な設定へと拡張すること。
• 受理クラス $ olimits\mathcal{C}$ における正則分離問題を、$ olimits\mathcal{C}$ における単項分離問題に還元する一般化された枠組みを提供すること。この還元は、閉包条件を満たす場合に成立する。
• 半線形集合とVAS到達可能性集合の断片（sections）という2つの主要クラスについて、有効な閉包性質を用いて決定可能性を確立すること。

提案手法

• パーシュ・オートマトンの正則分離問題を、受理条件クラス $ olimits\mathcal{C}$ における単項分離問題に還元する。
• もし $ olimits\mathcal{C}$ がアフィン関数の逆像に関して有効に閉じているならば、$ olimits\mathcal{C}$-パーシュ・オートマトンにおける正則分離問題は決定可能であることを証明する。
• 半線形集合とVAS到達可能性集合（およびその断片）が、アフィン写像の逆像に関して有効に閉じているという事実を活用する。
• 射影、共通部分、および射影の逆像に関する閉包性質を用いて、$ olimits\mathcal{C}_{\text{SEC-VAS}}$ の堅牢性を確立する。
• 既知の半線形集合およびVAS到達可能性集合の単項分離問題の決定可能性結果を応用し、主要な決定可能性結果を導出する。
• 射影および断片をシミュレートできるように次元を拡張した補助的VASを構築し、射影に関する有効な閉包性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則性問題が決定不能であるにもかかわらず、パーシュ・オートマトンにおける正則分離問題は決定可能か？
• RQ2 パーシュ・オートマトンの正則分離問題は、受理クラス $ olimits\mathcal{C}$ におけるより単純な分離問題に還元可能か？
• RQ3 半線形集合またはVAS到達可能性集合（およびその断片）は、帰着に必要な閉包条件を満たすか？
• RQ4 半線形集合およびVAS到達可能性集合の単項分離問題は決定可能であり、この性質から正則分離問題の決定可能性を導けるか？
• RQ5 $ olimits\mathcal{C}_{\text{SEC-VAS}}$、すなわちVAS到達可能性集合の断片のクラスは、アフィン関数の逆像に関して有効に閉じているか？

主な発見

• 非決定的パーシュ・オートマトンにおける正則分離問題は、決定可能である。これは、このクラスの正則性問題が決定不能であるのとは対照的である。
• もし $ olimits\mathcal{C}$ がアフィン関数の逆像に関して有効に閉じているならば、$ olimits\mathcal{C}$-パーシュ・オートマトンにおける正則分離問題の決定可能性は、$ olimits\mathcal{C}$ における単項分離問題の決定可能性に還元される。
• 半線形集合のクラスは、アフィン関数の逆像に関して有効に閉じており、これはブール結合、像、および射影の逆像に関する閉包性質によって示される。
• $ olimits\mathcal{C}_{\text{SEC-VAS}}$、すなわちVAS到達可能性集合の断片のクラスは、交わり、射影、および射影の逆像に関する閉包性質により、アフィン関数の逆像に関して有効に閉じている。
• 半線形集合の単項分離問題は決定可能であり、既存の研究[3]で示されている。同様に、$ olimits\mathcal{C}_{\text{SEC-VAS}}$ の単項分離問題も決定可能であり、[4]で示されている。
• その結果、$ olimits\mathcal{C}_{\text{SEC-VAS}}$-パーシュ・オートマトンにおける正則分離問題も決定可能である。これは、半線形集合を越えるより広範な言語クラスへと結果を拡張するものである。