[論文レビュー] Regular Separability of Well Structured Transition Systems

Wojciech Czerwiński, Sławomir Lasota+4 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2017

Formal Methods in Verification参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ややいささかの仮定のもとで、任意の二つの互いに素な well-structured transition systems (WSTS) 言語は、正則言語によって分離可能であることを確立している。具体的には、上向きに適合する WSTS に対しては有限分岐性、下向きに適合する WSTS に対しては決定性を仮定する。主な貢献は、一般の決定可能性結果である：実用的に関連のあるすべての WSTS クラスについて、正則分離可能性が決定可能である。特に、ペトリネットとロストチャネルシステムについて、ペトリネットではタイトな複雑さの上限が得られている。

ABSTRACT

We investigate the languages recognized by well-structured transition systems (WSTS) with upward and downward compatibility. Our first result shows that, under very mild assumptions, every two disjoint WSTS languages are regular separable: There is a regular language containing one of them and being disjoint from the other. As a consequence, if a language as well as its complement are both recognized by WSTS, then they are necessarily regular. In particular, no subclass of WSTS languages beyond the regular languages is closed under complement. Our second result shows that for Petri nets, the complexity of the backwards coverability algorithm yields a bound on the size of the regular separator. We complement it by a lower bound construction.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、互いに素な WSTS 言語が正則言語によって分離可能かどうかを特定することである。
• 正則分離可能性が WSTS フレームワーク内で決定可能となる条件を調査することである。
• ペトリネットにおける正則分離子の複雑さの上限を導出することを含む。
• 帰納的不変量を通じて、形式的言語理論と検証技法を結びつけること。
• 検証（帰納的不変量）の概念と言語理論（正則分離可能性）を統合すること。

提案手法

• 著者たちは、積システムの帰納的不変量を正則分離子と関連づけ、有限に表現可能な不変量が正則分離子を生成することを示している。
• ラティス理論からの理想完備化を用いて、WSTS における帰納的不変量を有限に表現している。
• ペトリネットの場合、後向きカバレイビリティアルゴリズムを活用してカバレイビリティ集合の有限表現を構築している。
• 非決定的 WSTS を決定的にする変換を導入し、基礎となる順序が ω2-wqo である場合に適用可能である。
• 決定的ペトリネットに対しては、二重指数的サイズの NFA 分離子を構築し、再ラベル化とホモモーフィズムを用いて非決定的ケースに拡張している。
• 特定の接尾辞制約を持つ言語に対して最小 DFA サイズを基にした構成を用いて、決定的有限オートマトン（DFA）分離子の三重指数的下界を証明している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で二つの互いに素な WSTS 言語が正則分離可能となるか？
• RQ2 積システムにおける帰納的不変量を用いて正則分離子を構築可能か？
• RQ3 ペトリネットにおける正則分離子の複雑さは何か？また、決定性に依存するか？
• RQ4 正則分離可能性において、有限分岐性または決定性の仮定は必要か？
• RQ5 ペトリネットにおける正則分離子の最もタイトな複雑さの上限は何か、特に DFA に対しては？

主な発見

• 一つの WSTS が有限分岐性（上向きに適合）または決定性（下向きに適合）を満たすならば、任意の二つの互いに素な WSTS 言語は正則分離可能である。
• 決定的ペトリネットの場合、分離子はネットサイズの和の二重指数的サイズで構築可能である。
• 一般のペトリネットの場合、分離子はネットサイズの和の三重指数的サイズの NFA として存在する。
• 任意の DFA 分離子に対して、二重指数的下界が、特定の接尾辞制約を持つ言語の最小 DFA サイズに基づく構成を用いて存在する。
• この結果は、正則言語を越える WSTS 言語の任意の部分クラスが補集合に関して閉じていないことを示唆している。
• 後向きカバレイビリティアルゴリズムは、カバレイビリティ集合の有限表現を生成し、最適サイズの正則分離子を構築するために利用可能である。