[論文レビュー] Regular sequences of power sums and complete symmetric polynomials

Neeraj Kumar, Ivan Martino|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2011

Advanced Mathematical Theories被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、3変数および4変数の多項式環における冪和および完全対称多項式の正則列を調査する。$ m < n-1 $ のとき、連続する冪和 $ p_a, p_{a+1}, \dots, p_{a+m-1} $ が正則列をなすことを証明し、4変数において $ p_a, p_b, p_c $ が正則列をなすための条件を提示する。主な貢献は、Conca, Krattenthaler, Watanabe の予想における $ (p_a, p_b) $ の素性に関するもので、特殊ケースと計算的証拠によって裏付けられている。

ABSTRACT

In this article, we carry out the investigation for regular sequences of symmetric polynomials in the polynomial ring in three and four variable. Any two power sum element in $\mathbb{C}[x_1,x_2,...,x_n]$ for $n \geq 3$ always form a regular sequence and we state the conjecture when $p_a,p_b,p_c$ for given positive integers $a<b></b>

研究の動機と目的

• 3変数および4変数の多項式環における、特に冪和および完全対称多項式の正則列を特徴づけること。
• 4変数の $ \mathbb{C}[x_1,x_2,x_3,x_4] $ において、3つの冪和 $ p_a, p_b, p_c $ がいつ正則列をなすかを調査し、既知のペアに関する結果を拡張すること。
• Conca, Krattenthaler, Watanabe の正則列に関する予想に裏付けられる証拠を提供すること。
• 連続する冪和 $ p_a, p_{a+1}, \dots, p_{a+m-1} $ が $ m < n-1 $ のとき正則列をなす条件を確立すること。
• Hilbert系列とニュートンの恒等式を用いて、対称多項式によって生成されるイデアルの正則性および素性を検証すること。

提案手法

• Hilbert系列基準を用いる：列 $ f_1, \dots, f_k $ が正則列であるための必要十分条件は、$ H_{S/I}(z) = \frac{\prod_{i=1}^k (1 - z^{d_i})}{(1 - z)^n} $ が成り立つこと、ここで $ d_i = \deg f_i $ である。
• 定理2.2を適用：3変数において、$ f_i, f_j, f_k $ が正則列であるための必要十分条件は、$ f_k \notin (f_i, f_j) $ かつ系の多重度が $ i+j+k $ であること。
• ニュートンの恒等式を用いて、冪和 $ p_m $、初等対称多項式 $ e_m $、完全対称多項式 $ h_m $ の関係を確立する。
• Serreの正規性基準を用いて、$ (p_1, p_{2m}) $ のようなイデアルが $ \mathbb{C}[x_1,x_2,x_3,x_4] $ で素イデアルであることを証明する。
• CoCoAを用いた計算的検証により、$ (p_a, p_b) $ の素性をテストし、$ a, b $ に関する予想される条件に到達する。
• $ p_n $ の $ (p_1, p_2, p_3) $ および $ (p_1, p_2, p_4) $ に関する像を分析し、$ n $ に応じて0または $ e_4 $ や $ e_3 $ のべきに等しくなることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4変数の $ \mathbb{C}[x_1,x_2,x_3,x_4] $ において、$ a < b < c $ のとき、冪和 $ p_a, p_b, p_c $ が正則列をなす条件は何か？
• RQ2 $ \mathbb{C}[x_1,x_2,x_3,x_4] $ において、2つの冪和によって生成されるイデアル $ (p_a, p_b) $ が素イデアルであるのはいつか？
• RQ3 $ \mathbb{C}[x_1,x_2,x_3,x_4] $ において、列 $ p_1, p_2, p_3, p_n $ が正則列であるのはどの $ n $ に対してか？
• RQ4 $ \mathbb{C}[x_1,x_2,x_3,x_4] $ において、列 $ h_1, h_2, h_4, h_n $ が正則列であるのはいつか？
• RQ5 Conca, Krattenthaler, Watanabe の対称多項式正則列に関する予想の条件は、低次元の場合に検証可能か、あるいは拡張可能か？

主な発見

• 任意の連続する冪和列 $ p_a, p_{a+1}, \dots, p_{a+m-1} $ は、$ m < n - 1 $ のとき、$ \mathbb{C}[x_1,\dots,x_n] $ において正則列をなす。
• $ p_1, p_2, p_3, p_n $ が正則列であるための必要十分条件は $ n = 4k $ である。Hilbert系列と $ (p_1, p_2, p_3) $ に関するモジュラー還元を用いて示された。
• $ p_1, p_2, p_4, p_n $ が正則列であるための必要十分条件は $ n = 3k $ である。$ p_n $ の $ (p_1, p_2, p_4) $ に関する像に基づく。
• $ (p_1, p_{2m}) $ は、すべての $ m \in \mathbb{N} $ に対して $ \mathbb{C}[x_1,x_2,x_3,x_4] $ で素イデアルである。これは、より広範な予想における素性に関する支持となる。
• $ h_1, h_2, h_3, h_n $ が正則列であるための必要十分条件は $ n = 4k $ であり、$ h_n \equiv (-1)^k e_4^k \pmod{(h_1, h_2, h_3)} $ が成り立つ。
• $ h_2, h_3, h_4, h_n $ が正則列であるための必要十分条件は $ n = 5k $ または $ n = 5k+1 $ である。$ h_n $ の $ (h_2, h_3, h_4) $ に関する像に基づいて同定された。