[論文レビュー] Regular Tur\'an numbers and some Gan-Loh-Sudakov-type problems

Stijn Cambie, Rémi de Joannis de Verclos+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 24被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、ホストグラフが正則であることを要件とする古典的ターラン数の変種である正則ターラン数を導入し、三角形を含まない正則グラフに対する鋭い上限を得ている。奇数 n 頂点の k-正則グラフで k > 2⌊n/5⌋ を満たすものについて、少なくとも 1/300 n² 個の三角形を含むことを示す超飽和結果を証明し、彩色数と偶奇性に基づいて正則ターラン数が古典的または異常な振る舞いを示すグラフを同定している。

ABSTRACT

Motivated by a Gan-Loh-Sudakov-type problem, we introduce the regular Tur\\'an numbers, a natural variation on the classical Tur\\'an numbers for which the host graph is required to be regular. Among other results, we prove a striking supersaturation version of Mantel's theorem in the case of a regular host graph of odd order. We also characterise the graphs for which the regular Tur\\'an numbers behave classically or otherwise.

研究の動機と目的

• ホストグラフが正則でなければならないという条件を課した正則ターラン数を形式化し、古典的ターラン理論の自然な拡張として研究すること。
• 奇数のサイクル、特に三角形に対して、偶奇制約のもとでの正則ターラン数の振る舞いを解明すること。
• 古典的結果とは顕著に異なる、正則グラフにおける超飽和結果を確立すること。
• 彩色数 χ(H) = 3 を満たすグラフ H で、正則ターラン数が古典的 Erdős–Stone 漸近的挙動から逸脱するものについて同定すること。
• 正則ターラン数フレームワークを、位数とサイズの両方を固定する Gan–Loh–Sudakov 型問題と結びつけること。

提案手法

• 正則ターラン数 ex_r(n,H) を、n 頂点の k-正則 H-自由グラフが存在する最大の次数 k として定義する。
• アンドラーシュファイ–エルドシュ–ソースおよびヘーゲキビストの定理を用いて、奇数のサイクルを含む非二部グラフにおける最小次数の上限を導出する。
• 超飽和技法を用いて、奇数 n における閾値を超える次数を持つ正則グラフが、二次関数的数の三角形を含むことを証明する。
• 凸性の議論と組合せ的恒等式を用いて、極値構成（特に完全グラフの補グラフ）における三角形数の最大化を図る。
• 構造的分解を用いて極値グラフを分析し、次数のペアを極端な値に置き換えることで三角形数が増加することを示す。
• 握手補題と偶奇制約を用いて、正則な三角形を含まないグラフに対するタイトな上限を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H = C₃ かつ n が奇数のとき、n 頂点の k-正則 H-自由グラフの最大次数は何か？
• RQ2 n が奇数のとき、正則グラフにおける三角形の超飽和挙動は、一般のグラフとどのように異なるか？
• RQ3 χ(H) = 3 を満たすグラフ H で、正則ターラン数が古典的 Erdős–Stone 渐近的挙動から逸脱するものはどれか？
• RQ4 正則ターラン数の極値グラフは、H = C_{2ℓ−1} に対して完全に同定可能か？
• RQ5 位数とサイズの両方を固定する Gan–Loh–Sudakov 型問題において、正則性の役割は何か？

主な発見

• n が奇数のとき、正則ターラン数 ex_r(n,K₃) は正確に 2⌊n/5⌋ であり、この上限はタイトである。
• n が奇数で k > 2⌊n/5⌋ を満たす任意の k-正則グラフは、少なくとも 1/300 n² 個の三角形を含む。
• n が偶数のとき、ex_r(n,K₃) = n/2 であり、これは古典的マンテルの定理と一致する。
• χ(H) ≠ 3 であるグラフ H に対しては、lim_{n→∞} (1/n) ex_r(n,H) = 1 − 1/(χ(H)−1) が成り立ち、これは古典的 Erdős–Stone 定理と一致する。
• 本稿では、正則ターラン数が古典的挙動から逸脱する（異常と呼ばれる）χ(H) = 3 を満たすすべての H を、完全二部グラフから適応した二つの構成を用いて同定している。
• ex_r(n,C₅) の極値グラフは一意であり、n ≥ 9 のとき、K_{n−1} および K_n \ M の補グラフである。