[論文レビュー] Regular Variation and Smile Asymptotics

Shalom Benaim, Peter K. Friz|ArXiv.org|Mar 6, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正則変動理論を用いて、リスク中立的資産リターンの尾部挙動とインプライド・ボラティリティ・スマイルの漸近的形状との間の厳密な関係を確立する。Roger Leeのモーメント公式を鋭くし、インプライド・ボラティリティの翼部挙動が、尾部分布、密度、またはオプション価格の正則変動指数によって直接決定されることを示し、左翼および右翼におけるインプライド・ボラティリティの動的挙動の明確な漸近的公式を提供する。

ABSTRACT

We consider risk-neutral returns and show how their tail asymptotics translate directly to asymptotics of the implied volatility smile, thereby sharpening Roger Lee's celebrated moment formula. The theory of regular variation provides the ideal mathematical framework to formulate and prove such results. The practical value of our formulae comes from the vast literature on tail asymptotics and our conditions are often seen to be true by simple inspection of known results.

研究の動機と目的

• リスク中立的リターンの尾部漸近的挙動とインプライド・ボラティリティ・スマイルの翼部挙動との間の関係を形式化すること。
• 正則変動理論を組み込むことで、Roger Leeのモーメント公式を鋭くし、より明確な漸近的結果を得ること。
• 金融モデルにおける既知の尾部挙動に基づいて、実用的で解析的に取り扱いやすいインプライド・ボラティリティ・ウイングの公式を提供すること。
• インプライド・ボラティリティ分散が部分線形に増加する十分条件を確立し、明示的な漸近的表現を提示すること。
• 既存のボラティリティ・スマイルのパラメータ化を統一的かつ一般化し、分布の尾部特性からその漸近的基盤を導出すること。

提案手法

• 正則変動理論を用いて、生存関数、密度関数、オプション価格の尾部における漸近的挙動を特徴付ける。
• 関数 $ \psi[x] = 2 - 4[\sqrt{x^2 + x} - x] $ を用いて、尾部の減衰率をインプライド・ボラティリティの翼部挙動にマッピングする。
• 正則変動仮定の下で、$ -\log c(k)/k $、$ -\log \bar{F}(k)/k $、および $ -\log f(k)/k $ の間の漸近的同等関係を導出する。
• 鞍点近似および正規尾部関数の上限を用いて、インプライド・ボラティリティ導出における誤差項を制御する。
• オプション価格の尾部が正則変動を示す場合、$ V(k)^2/k \sim \psi[-\log c(k)/k] $ が成り立ち、密度および生存関数の漸近的挙動に対する補正項を含む。
• 関数 $ \psi $ の逆関係を用いて、尾部減衰率が無限に増加する場合の部分線形漸近的挙動を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リスク中立的リターンの尾部特性が、インプライド・ボラティリティ・スマイルの漸近的形状にどのように影響を与えるか？
• RQ2 インプライド・ボラティリティ分散が部分線形に増加する条件は何か？その正確な増加率は？
• RQ3 正則変動理論を用いて、Roger Leeのモーメント公式を鋭くし、正確な漸近的表現を得られるか？
• RQ4 尾部分布の減衰率とインプライド・ボラティリティ・ウイングとの間の関数的関係は何か？
• RQ5 リターン密度および累積分布関数の左尾部および右尾部挙動と、インプライド・ボラティリティの左翼および右翼漸近的挙動とはどのように関係するか？

主な発見

• インプライド・ボラティリティの翼部挙動は、$ -\log c(k) \in R_\alpha $ のとき $ V(k)^2/k \sim \psi[-\log c(k)/k] $ を満たし、オプション価格の尾部減衰をボラティリティの形状に直接結びつける。
• もし $ -\log \bar{F}(k) \in R_\alpha $ ならば、$ V(k)^2/k \sim \psi[-1 - \log \bar{F}(k)/k] $ が成り立ち、生存関数の尾部がスマイルの翼部を決定することを示す。
• $ -\log f(k) \in R_\alpha $ のとき、インプライド・ボラティリティは $ V(k)^2/k \sim \psi[-1 - \log f(k)/k] $ を満たし、密度の尾部がスマイルを支配することを示す。
• 部分線形増加の場合は、$ V(k)^2/k \sim 1/(-2 \log f(k)/k) $ となり、尾部減衰が速い場合の単純な漸近的近似が得られる。
• 極限 $ \lim_{k \to \infty} V(k)^2/k $ が存在するための必要十分条件は、$ -\log \bar{F}(k)/k \to \theta $ であり、このとき $ \theta > 1 $ である。これは可積分性を保証する。
• Black-Scholesモデルのようなモデルでは、この公式が平坦なボラティリティ・スマイルを回復し、既知の結果と一貫性を示す。