[論文レビュー] Regular variation in the branching random walk

Alexander Iksanov, Sergey Polotskiy|ArXiv.org|Apr 20, 2006

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$W_1$ の尾部が正則変動を示すものとし、弱いモーメント条件のもとで、超臨界的分岐ランダムウォークのさまざまな関数型—最大関数 $W^*$、二乗関数 $S$、$L_1$ 限界 $W$、および絶対 martingale 差分の上界 $Δ$—の尾部確率も、同じ指数で無限大において正則変動を示すことを確立する。証明は解析的でなく、ラプラス・ステルジース変換を避けるものであり、$W$ の尾部挙動を扱う二つの異なるアプローチを提供する。この結果は、この文脈における主要な martingale 関数型間で尾部正則変動の同値性に関する予想を裏付ける。

ABSTRACT

Let $\{\mm_n, n=0,1,...\}$ be the supercritical branching random walk starting with one initial ancestor located at the origin of the real line. For $n=0,1,...$ let $W_n$ be the moment generating function of $\mm_n$ normalized by its mean. Denote by $AW_n$ any of the following random variables: maximal function, square function, $L_1$ and a.s. limit $W$, $\su |W-W_n|$, $\su |W_{n+1}-W_n|$. Under mild moment restrictions and the assumption that $ P\{W_1>x\}$ regularly varies at $\infty$ it is proved that $ P\{AW_n>x\}$ regularly varies at $\infty$ with the same exponent. All the proofs given are non-analytic in the sense that these do not use Laplace-Stieltjes transforms. The result on the tail behaviour of $W$ is established in two distinct ways.

研究の動機と目的

• 超臨界的分岐ランダムウォークにおける主要な martingale 関数型—最大、二乗、$L_1$ 限界、差分の上界—の尾部挙動を調査すること。
• もし $\mathbb{P}\{W_1 > x\}$ が無限大において正則変動を示すならば、$W^*$、$S$、$W$、および $Δ$ の尾部分布も同じ指数で正則変動を示すことを確立すること。
• ラプラス・ステルジース変換を避ける非解析的証明（二つ）を提供し、$\mathbb{P}\{W > x\}$ の正則変動を強化すること。
• BRW フレームワークにおける非負 martingale の異なる関数型の間で尾部正則変動の同値性に関する予想を確認すること。

提案手法

• 著者は、原点に単一の先祖から出発する分岐ランダムウォーク $\{\mathcal{M}_n\}$ を定義し、位置は点過程 $\mathcal{M}$ の独立同一分布コピーに従う。
• 彼らは、その平均で正規化された非負 martingale $W_n = m(\gamma)^{-n} \int e^{\gamma x} \mathcal{M}_n(dx)$ を構築し、関連関数型 $W^* = \sup_n W_n$、$S = (1 + \sum d_k^2)^{1/2}$、$\Delta = \sup_n |d_n|$、$W = \lim W_n$、および $M = \sup_n |W - W_n|$ を定義する。
• 解析はモーメント条件と、$\mathbb{P}\{W_1 > x\}$ が指数 $-\beta$、$\beta > 0$ で無限大において正則変動すること、すなわち $\mathbb{P}\{W_1 > x\} \sim x^{-\beta} L(x)$ を満たすという仮定に依存する。ここで $L$ はゆっくり変動する関数である。
• 証明はラプラス・ステルジース変換を避け、代わりに経路に依存するおよび確率論的議論を用いる。これには、$\beta$ に関する帰納法と、i.i.d. 確率変数の和のモーメントを制御するための $c_\beta$-不等式が含まれる。
• 著者はバーグホルダー＝ギャンディ＝デイヴィスの不等式および関連する分布的不等式を用い、$W^*$、$S$、$W$ の尾部挙動を関連づけ、既知の martingale 不等式を活用する。
• 二つの独立した証明が $\mathbb{P}\{W > x\}$ の正則変動を提供する。一つはモーメント推定に基づくもので、もう一つは経路的結合と最大不等式技術に基づくものである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 もし $\mathbb{P}\{W_1 > x\}$ が同じ指数で正則変動を示すならば、$\mathbb{P}\{W^* > x\}$ も同じ指数で正則変動を示すか？
• RQ2 二乗関数 $S$、$L_1$ 限界 $W$、および martingale 差分の上界 $Δ$ の尾部分布も、$W_1$ と同じ指数で正則変動を示すか？
• RQ3 $\mathbb{P}\{W > x\}$ の正則変動は、ラプラス・ステルジース変換を用いずに確立可能か？
• RQ4 超臨界的分岐ランダムウォークにおける限界 $W$ の尾部挙動に、非解析的証明は存在するか？
• RQ5 $W^*$、$S$、$W$、$Δ$、$M$ の異なる martingale 関数型の尾部挙動は、$W_1$ の正則変動のもとで、どの程度漸近的に同値となるか？

主な発見

• もし $\mathbb{P}\{W_1 > x\}$ が指数 $-\beta$ で無限大において正則変動するならば、$\mathbb{P}\{W^* > x\}$、$\mathbb{P}\{S > x\}$、$\mathbb{P}\{W > x\}$、$\mathbb{P}\{\Delta > x\}$、および $\mathbb{P}\{M > x\}$ は、すべて同じ指数 $-\beta$ で正則変動する。これは弱いモーメント条件のもとで成り立つ。
• もし $\mathbb{E}W_1^\beta = \infty$ であっても、$\mathbb{P}\{W_1 > x\} \sim x^{-\beta}L(x)$ が成り立つならば、この結果は成り立つ。ここで $\beta > 0$ であり、$L$ はゆっくり変動する関数である。
• 証明はラプラス・ステルジース変換を避け、代わりに確率論的およびモーメントに基づく議論に依存する。これには $c_\beta$-不等式と $\beta$ に関する帰納法が含まれる。
• 二つの独立した証明が $\mathbb{P}\{W > x\}$ の正則変動を提供する。一つはモーメント推定に基づくもので、もう一つは経路的結合と最大不等式技術に基づくものである。
• $W$ の分布が $X_i = Y_u$（$|u|=1$ のとき）である滑らか化変換の不動点であることが示され、この結果は有限平均を持つこのような不動点へと拡張可能である。
• $\mathbb{E}W_1^\beta < \infty$ である場合、$\mathbb{P}\{W_1 > x\} \sim x^{-\beta}L(x)$ ならば、与えられた条件下で $\mathbb{P}\{W > x\} \sim c x^{-\beta}L(x)$ となる定数 $c > 0$ が存在する。