[論文レビュー] Regularity and approximation analyses of nonlocal variational equality and inequality problems

Olena Burkovska, Max Gunzburger|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2018

Numerical methods in engineering参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非局所的変分等式および不等式問題における切り捨てられた分数ラプラシアンカーネルを用いた解の最適なソボレフ正則性を確立し、非局所的ベクトル計算を用いて事前有限要素誤差推定を導出する。エネルギーノルムにおいて $O(h^{0.5})$、$L^2$ ノルムにおいて $O(h)$ の収束速度を証明し、数値実験により理論的結果を検証する。

ABSTRACT

We consider linear and obstacle problems driven by a nonlocal integral operator, for which nonlocal interactions are restricted to a ball of finite radius. These type of operators are used to model anomalous diffusion and, for a special choice of the integral kernels, reduce to the fractional Laplace operator on a bounded domain. By means of a nonlocal vector calculus we recast the problems in a weak form, leading to corresponding nonlocal variational equality and inequality problems. We prove optimal regularity results for both problems, including a higher regularity of the solution and the Lagrange multiplier. Based on the regularity results, we analyze the convergence of finite element approximations for a linear problem and illustrate the theoretical findings by numerical results.

研究の動機と目的

• 分数ラプラシアン問題の既存の正則性理論を、有限の相互作用範囲（切り捨てられたカーネル）を持つ非局所作用素へと拡張すること。
• 非局所的変分等式および不等式問題における解およびラグランジュ乗数の改善されたソボレフ正則性を確立すること。
• 線形および障害型非局所問題のための適合有限要素離散化を構築および分析すること。
• 線形問題のための事前誤差推定を導出し、それを数値的に検証すること。
• 切り捨てられたカーネルの正則性結果におけるギャップを埋めることで、非局所有限要素法における誤差解析の基盤を提供すること。

提案手法

• 非局所的問題を非局所的ベクトル計算フレームワークを用いて定式化し、強い形を弱い変分形式に再定式化する。
• 分数ラプラシアンに関連する切り捨てられたカーネル $ ilde{ ho}_ ho$ を用い、相互作用を半径 $ ho$ の球内に限定する。
• ホルンダーアの理論の結果を用い、切り捨て誤差の推定を実施することで、無限範囲の場合の正則性結果を有限範囲の場合へ拡張する。
• 安定性および一貫性解析を用いて、エネルギーノルムおよび $L^2$ ノルムにおける線形有限要素近似のための事前誤差推定を導出する。
• $h = 2^{-12}$ の細かいメッシュ上の製造解および基準解を用いて、収束速度を数値的に検証する。
• 同じ有限要素法を非局所的障害問題に適用し、エネルギー誤差および $L^2$ 誤差の収束挙動を報告する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 切り捨てられた分数ラプラシアンカーネルを有する非局所的線形問題の解の最適なソボレフ正則性は何か？
• RQ2 非局所的障害問題におけるラグランジュ乗数の正則性は、カーネルおよびデータの正則性にどのように依存するか？
• RQ3 非局所的変分問題の有限要素近似において、理論的および数値的に達成可能な収束速度は何か？
• RQ4 全分数ラプラシアンと比較して、切り捨てられたカーネルの正則性および収束結果はどのように異なるか？
• RQ5 非局所的障害問題において、線形問題と同等の収束次数が得られるだろうか？

主な発見

• データが $L^2(ar{ ho})$ に属するとき、切り捨てられた分数ラプラシアンカーネルを有する非局所的線形問題の解は、エネルギー空間において最適な $H^{s+1}$ 正則性を示す。これは無限範囲の場合の結果を拡張する。
• 適切な仮定の下で、非局所的障害問題におけるラグランジュ乗数は、解よりも $s$ 階の正則性を追加的に得る。
• 線形問題の有限要素近似は、エネルギーノルムで $O(h^{0.5})$、$L^2$ ノルムで $O(h)$ の収束速度を示し、理論的予測と一致する。
• 数値結果は、$s \to 0.1$ から $0.75$ のさまざまな値において理論的収束速度を確認しており、エネルギー誤差の収束率は約 $0.5$、$L^2$ 収束率は約 $1.0$ である。
• 非局所的障害問題においても、有限要素法は同様の収束次数 $O(h^{0.5})$（エネルギーノルム）および $O(h)$（$L^2$ ノルム）を達成しており、類似した収束挙動を示す。
• 正則性および収束結果は、$s$ や $ ho$ の変化に対しても安定しており、線形問題および変分不等式問題の両方で一貫した収束率が観察された。