[論文レビュー] Regularity and convergence rates for the Lyapunov exponents of linear co-cycles

Wilhelm Schlag|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2012

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、トーラス上のディオファントス回転の上での線形共サイクルに対して、指数の間のギャップ条件のもとで、リャプノフ指数のホルダー連続性を確立する。アバランチプレインシプルと正則性推定を用いて、異なるリャプノフ指数がパラメータに対してホルダー連続に変化し、かつ互いに異なるままであることを証明する。また、大偏差推定を用いて、有限スケールの指数が無限スケールの極限に収束するレートを定量的に評価する。

ABSTRACT

We study linear co-cycles in GL(d,R) (or C) depending on a parameter (in a Lipschitz or Holder fashion) and establish Holder regularity of the Lyapunov exponents for the shift dynamics on the base. We also obtain rates of convergence of the finite volume exponents to their infinite volume limits. The technique is that developed jointly with Michael Goldstein for Schroedinger co-cycles. In particular, we extend the Avalanche Principle, which had been formulated originally for SL(2,R) co-cycles, to GL(d,R).

研究の動機と目的

• 線形共サイクルのパラメータに関するリャプノフ指数の正則性を、ディオファントストーラスシフトの上ですべての関数的性質として確立すること。
• 異なるリャプノフ指数が、それらが異なる点の近傍においても互いに異なるままであり、パラメータに関してホルダー連続に変化することを証明すること。
• 有限スケールのリャプノフ指数が無限スケールの極限に収束する最適な収束レートを導出すること。
• 解析的およびホルダー正則性の仮定の下で、$SL(2,\mathbb{R})$ から $GL(d,\mathbb{R})$ および $GL(d,\mathbb{C})$ 共サイクルへの結果の拡張すること。
• 決定的枠組みと確率的行列積を結びつけ、指数的収束が確率的状況における鋭い正則性を示すこと。

提案手法

• 解析は、長大な可逆行列の積に対してノルムの成長を制御し、リャプノフ指数の近似における誤差を制御できる、決定的行列積推定であるアバランチプレインシプルに依存する。
• パラメータ $E\in\mathcal{E}$ における指数のモジュラス連続性の均一な制御を得るために、ギャップ条件 $\lambda_j(E) - \lambda_{j+1}(E) > \kappa > 0$ を用いる。
• 共サイクル $A(x,E)$ に対して、基底空間 $x\in\mathbb{T}$ における解析性と、パラメータ $E\in\mathcal{E}$ における一様ホルダー連続性を仮定し、複素解析および摂動技法の適用を可能にする。
• 大偏差推定（LDT）を用いて、有限スケールのリャプノフ指数が無限スケールの対応物に収束するレートを定量的に評価し、適切な条件下で指数的減衰レートを導出する。
• 従来の $SL(2,\mathbb{R})$ シュレーディンガー共サイクルに関する結果に類似したアプローチを採用しているが、対称性の仮定なしに高次元 $GL(d,K)$ 共サイクルへと拡張している。
• 確率的行列積の文脈では、指数的収束と不変測度に関する既存の結果と結びつけ、決定的設定におけるホルダー正則性が鋭いが、強い混合性を持つ設定では正則性が向上する可能性があることを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形共サイクルのリャプノフ指数が、ディオファントストーラスシフトの上での小さなパラメータ摂動に対して、いつまでたもつのか。
• RQ2 指数が正のギャップで分離されているとき、パラメータ $E$ の関数としてのリャプノフ指数の最適なモジュラス連続性は何か。
• RQ3 有限スケールのリャプノフ指数が無限スケールの極限に収束する速度はどれほどで、さまざまな力学的仮定のもとで最適なレートは何か。
• RQ4 決定的共サイクルの正則性結果を高次元 $GL(d,K)$ システムへと拡張できるか。ギャップサイズはホルダー指数にどのように影響するか。
• RQ5 決定的正則性結果と確率的行列設定における結果を比較すると、収束レートとリャプノフ指数の正則性に関して、どのような相違が生じるか。

主な発見

• すべてのリャプノフ指数が点 $E_0$ で互いに異なるならば、それらは $E_0$ の近傍でも互いに異なるままであり、各指数は $E$ に関して局所的にホルダー連続である。
• すべての $j < d$ に対して $\lambda_j(E) - \lambda_{j+1}(E) > \kappa > 0$ を満たす一様ギャップ条件のもとで、リャプノフ指数 $\lambda_j(E)$ はパラメータ $E$ に関してグローバルにホルダー連続であり、ホルダー指数 $\alpha$ は $\kappa$ に依存する。
• 有限スケールのリャプノフ指数が無限スケールの極限に収束するレートは、大偏差推定を用いて定量的に評価され、$\exp(-n^{\tau})$ の形をとる指数的減衰を示す（$\tau > 0$）。
• ディオファントスシフトをもつ高次元トーラス $\mathbb{T}^\nu$ に対しても、同様の結果が成り立ち、モジュラス連続性は弱くなるが、強力なLDTの可用性に制限される。
• 確率的行列の場合、リャプノフ指数の指数的収束は、ホルダー正則性の結果が鋭いことを示しており、強い混合性を持つ設定ではより良い正則性が期待できる。
• 本稿では、決定的設定において正則性結果が最適であることを示しており、$\kappa$ に依存する関係は $d > 2$ の場合、避けがたいものである。