[論文レビュー] Regularity And Extremality Of Quasiconformal Homeomorphisms On CR 3-Manifolds

Puqi Tang|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 1993

Holomorphic and Operator Theory参考文献 12被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、3次元CR多様体、特に平坦トーラス上のCR円筒バンドルにおける擬等角ホメオモルフィズムの正則性と極値性を確立する。曲線族のモジュラスと非可換リーマン幾何学を用いて、レジェンドリアンfoliationに沿って伸び縮みする極値写像を構成し、リーマン面におけるタイヒミュラー写像に類似した性質を示し、与えられたホモトピー類内で変形率を最小化することを証明する。

ABSTRACT

This paper first studies the regularity of conformal homeomorphisms on smooth locally embeddable strongly pseudoconvex CR manifolds. Then moduli of curve families are used to estimate the maximal dilatations of quasiconformal homeomorphisms. On certain CR 3-manifolds, namely, CR circle bundles over flat tori, extremal quasiconformal homeomorphisms in some homotopy classes are constructed. These extremal mappings have similar behaviors to Teichmüller mappings on Riemann surfaces.

研究の動機と目的

• 滑らかで強擬凸的かつ局所埋め込み可能なCR 3次元多様体上で、$L^1_{\text{loc}}$ 水平微分をもつ等角ホメオモルフィズムの正則性を確立すること。
• 曲線族のモジュラスを用いて、局所的歪みとグローバルな幾何的挙動を結びつける、グローバルな擬等角性の定義を提示すること。
• 平坦トーラス上のCR円筒バンドルにおいて、特定のホモトピー類内に極値擬等角ホメオモルフィズムを構成すること。
• これらの極値写像が横断的レジェンドリアンfoliationを保存し、円作用に関して等長的であることを示すこと。
• 長さ-面積法およびモジュラスの議論を用いて、リーマン面におけるタイヒミュラー型極値性結果をCR設定へ一般化すること。

提案手法

• 文献[12]の解析的定義に従い、ACL正則性および水平微分の有界歪みを要請する擬等角性の定義を用いる。
• 曲線族のモジュラスを、擬等角歪みのグローバルな測度として用い、$C^2$微分同相写像が擬等角的であることの必要十分条件が、特定の曲線族のモジュラスを有界な因子で歪ませることであることを証明する。
• ベクトル場$X$の積分曲線でパラメータ付けられた垂直曲線族$\Gamma_a$のモジュラスを分析することで、極値写像を構成する。
• 曲線の$L^4$ノルム推定に基づき、不等式$\text{Mod}_{M_1}(\Gamma_a) \leq (1/(2a))^4 \text{vol}(M_1)$を導出し、長さ-面積法を適用する。
• ホモトピー上の持ち上げとrectifiable曲線の最小化を用いて、写像$f$による像曲線の長さを抑え、$\text{Mod}_{M_2}(f(\Gamma_a))$の上界を得る。
• 補題4.5を適用し、$s$のパラメータに依存しない形の$f$に沿った$4$乗ノルムの独立性を示し、体積積分の簡略化を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで強擬凸的かつ局所埋め込み可能なCR 3次元多様体間の等角ホメオモルフィズムが、$L^1_{\text{loc}}$ 水平微分をもつとき、どのような正則性条件下で必ず滑らかでCR的であるか。
• RQ2 曲線族のモジュラスが、CR 3次元多様体上での擬等角写像をグローバルに特徴づけるために用いられるか。
• RQ3 平坦トーラス上のCR円筒バンドルにおいて、与えられたホモトピー類内に極値擬等角ホメオモルフィズムが存在するか。
• RQ4 極値写像は、CR設定におけるレジェンドリアンfoliationおよび円作用に関して、どのように振る舞うか。
• RQ5 CR極値写像は、構造的および歪みの性質において、リーマン面上のタイヒミュラー写像にどの程度類似しているか。

主な発見

• 滑らかで強擬凸的かつ局所埋め込み可能なCR 3次元多様体間の等角ホメオモルフィズムが、$L^1_{\text{loc}}$ 水平微分をもつとき、必ず滑らかでCR的である。
• $C^2$微分同相写像が、ある種の曲線族のモジュラスを有界な因子で歪ませることの必要十分条件として、擬等角的であることが示され、グローバルな特徴づけが確立される。
• 平坦トーラス上のCR円筒バンドルにおいて、指定されたホモトピー類内に極値擬等角ホメオモルフィズムが存在し、二つの横断的レジェンドリアンfoliationを保存する。
• これらの極値写像は、一方のレジェンドリアンfoliationに沿って$\sqrt{K}$の因子で伸び、他方のfoliationに沿って同じ因子で圧縮され、タイヒミュラー写像に類似した挙動を示す。
• 極値写像$f_0$は、横方向の円作用に関して等長的であり、円ファイバー上で恒等写像として作用する。
• $a \to \infty$ の極限において、不等式$(\sqrt{K} - A/a)^2 \leq K(f)$から$K \leq K(f)$が得られ、構成された極値写像が最大変形率を最小化することを証明する。