[論文レビュー] Regularity and lifespan of small solutions to systems of quasi-linear wave equations with multiple speeds,I: almost global existence

Kunio Hidano|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、3次元および2次元における複数速度を有する擬線形波動方程式系に対して、初期データの大きさが $\varepsilon$ の小刻みで滑らかな解について、ほぼ全域的存在を確立する。$H^1$-$L^p$ クライナーマン＝ソボレフ不等式の欠如を回避するために、新規の重み付きソボレフ不等式枠組みを用いる。主な結果は、初期データのサイズが $\varepsilon$ の解について、$\exp(C\varepsilon^{-1})$ のオーダーの生存期間推定を達成することである。最小正則性ノルムの下で成立する。

ABSTRACT

In this paper, we show almost global existence of small solutions to the Cauchy problem for symmetric system of wave equations with quadratic (in 3D) or cubic (in 2D) nonlinear terms and multiple propagation speeds. To measure the size of initial data, we employ a weighted Sobolev norm whose regularity index is the smallest among all the admissible Sobolev norms of integer order. We must overcome the difficulty caused by the absence of the $H^1$-$L^p$ Klainerman-Sobolev type inequality, in order to obtain a required a priori bound in the low-order Sobolev norm. The introduction of good substitutes for this inequality is therefore at the core of this paper. Using the idea of showing the well-known Ladyženskaja inequality, we prove some weighted inequalities, which, together with the generalized Strauss inequality, play a role as the good substitute.

研究の動機と目的

• 3次元および2次元における複数伝播速度を有する擬線形波動方程式系の小解について、ほぼ全域的存在を確立すること。
• 低正則性設定における $H^1$-$L^p$ クライナーマン＝ソボレフ不等式の欠如を克服すること。
• 欠落しているクライナーマン＝ソボレフ推定の代わりに機能する新しい重み付き不等式の開発と応用。
• 解の生存期間について、最小許容ソボレフノルム（$H^3$ を中心とする）における事前評価を達成すること。
• 古典的なほぼ全域的存在枠組みを、複数速度および二次・三次非線形項を有する系へと拡張すること。

提案手法

• 初期データの大きさを測るための、最小正則性インデックス（$H^3$）を有する重み付きソボレフノルムを導入する。
• ラジエンスカージャの手法にインspiredされた新しい重み付き不等式を考案し、欠落している $H^1$-$L^p$ クライナーマン＝ソボレフ不等式の代替を提供する。
• これらの不等式を一般化されたストラウス不等式と組み合わせ、導関数の点ごとの減衰を制御する。
• ベクトル場（$\Gamma^a$）を用いたエネルギー推定を適用し、高階導関数を制御し、小さな状態を維持する。
• 解を局所的存続時間を超えて延長するために、$N_4(u(t)) \leq 7\varepsilon/4$ に基づく継続的議論を用いる。
• 推定式 $\tilde{E}_4'(u(t)) \leq C\langle t\rangle^{-1} N_4(u(t)) \tilde{E}_4(u(t))$ を用いて事前評価を確立し、指数的生存期間を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小正則性仮定の下で、複数速度を有する擬線形波動方程式系について、ほぼ全域的存在を確立できるか？
• RQ2 標準的な $H^1$-$L^p$ クライナーマン＝ソボレフ不等式が成立しない状況において、小解の生存期間をどのように制御できるか？
• RQ3 低正則性領域における欠落しているクライナーマン＝ソボレフ推定の代替として、どのような重み付き不等式が機能するか？
• RQ4 複数伝播速度の構造が、解の減衰性および正則性に及ぼす影響はどの程度か？
• RQ5 局所解の継続的議論を、$H^3$ を中心とするエネルギー境界のみを用いて、ほぼ全域的存在に拡張できるか？

主な発見

• 本稿は、二次非線形項を有する3次元系および三次非線形項を有する2次元系の小解について、ほぼ全域的存在を証明する。
• 解の生存期間は、最小許容ソボレフノルムにおける初期データのサイズ $\varepsilon$ を用いて、$\exp(C\varepsilon^{-1})$ 以上であると下界が与えられる。
• ラジエンスカージャ型の議論に基づき構築された、新しい重み付き不等式の族が、欠落している $H^1$-$L^p$ クライナーマン＝ソボレフ不等式の代わりに機能する。
• 一般化されたストラウス不等式は、新規の重み付き推定と併用され、導関数の点ごとの減衰を制御する。
• $N_4(u(t)) \leq 7\varepsilon/4$ はすべての $t < T_*$ に対して成り立つが、$\varepsilon \log(1+T_*) < B$ ならば $T_*$ の定義に矛盾するため、$T_* = \infty$ がほぼ全域的意味で成立する。
• 結果は時間並進不変性を有し、compactly supported な $C^\infty$ 初期データに対して一様に成り立つ。