[論文レビュー] Regularity and nearness theorems for families of local Lie groups

Tom McGaffey|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2012

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非標準解析に基づく局所リー群の正則性および近接定理を確立し、局所リー群の族が点単位で収束し、微分可能である場合、座標変換の下で滑らかに解析的局所リー群に収束することを証明する。主な貢献は、S連続なリー群構造が座標変換の後で解析的になることを示す非標準的正則性結果であり、非標準的手法と写像の芽に新しい位相を導入することで、ヒルベルトの第5問題の局所版が前進する。

ABSTRACT

In this work, we prove three types of results with the strategy that, together, the author believes these should imply the local version of Hilbert's Fifth problem. In a separate development, we construct a nontrivial topology for rings of map germs on Euclidean spaces. First, we develop a framework for the theory of (local) nonstandard Lie groups and within that framework prove a nonstandard result that implies that a family of local Lie groups that converge in a pointwise sense must then differentiability converge, up to coordinate change, to an analytic local Lie group, see corollary 6.1. The second result essentially says that a pair of mappings that almost satisfy the properties defining a local Lie group must have a local Lie group nearby, see proposition 7.1. Pairing the above two results, we get the principal standard consequence of the above work, corollary 7.2, which can be roughly described as follows. If we have pointwise equicontinuous family of mapping pairs (potential local Euclidean topological group structures), pointwise approximating a (possibly differentiably unbounded) family of differentiable (suffi- ciently approximate) almost groups, then the original family has, after appropriate coordinate change, a local Lie group as a limit point. The third set of results give nonstandard renditions of equicontinuity criteria for families of differentiable functions, see theorem 9.1. These results are critical in the proofs of the principal results of this thesis as well as the standard interpretations of the main results here. Following this material, we have a long chapter constructing a Hausdorff topology on the ring of real valued map germs on Euclidean space. This topology has good properties with respect to convergence and composition. See the detailed introduction to this chapter for the motivation and description of this topology.

研究の動機と目的

• 局所リー群のための非標準的枠組みを確立し、正則性および近接定理を証明すること。
• 点単位で等連続なほぼ局所リー群の族が座標変換の後で解析的局所リー群に収束することを示すことにより、ヒルベルトの第5問題の局所版を解決すること。
• ユークリッド空間上での実数値写像の芽の環に、収束性および合成性の良い性質を備えたハウスドルフ位相を構成すること。
• 主な結果を証明するために不可欠な、微分可能関数のための等連続性基準の非標準的同等物を提供すること。
• アドジョイント写像のS連続性が、局所*リー群の標準部分の解析的になることを示すこと。

提案手法

• 局所*リー群およびその標準部分を分析するために、移行、飽和、オーバーフローの原則を用いた非標準解析（NSA）を用いる。
• S正則性およびS解析的性の概念を用いて、S連続な群演算が座標変換の後で解析的になることを示す。
• *指数写像およびその正則性を用いて、*リー群の標準部分が局所リー群であることを証明する。
• ユークリッド空間上での実数値写像の芽の環に、収束性および合成性の両方を保証する新しいハウスドルフ位相を導入する。
• *ジョルダン分離定理および位相的性質の移行を用いて、写像の像のサイズを評価し、包含関係を証明する。
• *μ-指数補題および*GL(n)の微分幾何学を用いて、アドジョイント写像のS連続性を確立し、解析的になることを示す鍵となるステップを達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分可能な意味で点単位で収束する局所リー群の族は、座標変換の後で滑らかに解析的局所リー群に収束すると示せるか？
• RQ2 2つの写像がほとんど局所リー群の公理を満たしている場合、それらに近い真の局所リー群が存在するか？
• RQ3 非標準的等連続性基準を定式化し、微分可能関数の族の正則性定理の証明に用いることができるか？
• RQ4 ユークリッド空間上の写像の芽の環に、収束性および合成性を尊重するハウスドルフ位相が存在するか？
• RQ5 S連続性および適切な座標変換の下で、*リー群構造の標準部分が解析的になると示せるか？

主な発見

• 点単位で等連続で、微分可能なほぼ群に近い局所リー群の族は、座標変換の後で解析的局所リー群に収束する（補題7.2）。
• SC∘ 条件を満たすσ局所*リー群の標準部分は、ある座標系において解析的局所リー群である（定理6.2）。
• *リー群上のアドジョイント写像はS連続であり、これは群の標準部分が解析的になることを示唆する（定理6.2）。
• 実数値写像の芽の環に、収束性および合成性の良い性質を備えた非自明なハウスドルフ位相が構成された（第10章）。
• ホメオモルフィズムの芽は、芽空間上でホメオモルフィズムとして作用し、その像は、芽に依存しない小球を一様に含む（命題10.15）。
• *指数写像は正則であり、その微分（すなわちアドジョイント写像）はS連続である。これは、標準部分の解析的になることを示すために極めて重要である（第4節）。