[論文レビュー] Regularity and uniqueness of the first eigenfunction for singular fully non linear operators

Isabeau Birindelli, Françoise Demengel|ArXiv.org|Sep 21, 2009

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特異な完全非線形作用素のクラスに対して、1番目の固有関数の正則性と一意性を確立し、一般の領域条件下で主固有値が単純かつ孤立していることを証明する。粘性解理論、ホルダー正則性、強力な比較原理を用いて、任意の正の固有関数が1番目の固有関数の正の定数倍に他ならないことを示し、変分的でない設定から非変分的かつ同次性を持つ完全非線形作用素（例：p-ラプラシアン）への既知の結果の拡張を達成する。

ABSTRACT

In this article we prove that solutions of singular fully nonlinear partial differential equations are $C^{1,β}$. We also prove the simplicity of the principal eigenvalues for the Dirichlet Problem associated to these operators using that regularity, a strict comparison principle and Sard's theorem.

研究の動機と目的

• 特異な完全非線形作用素に対する主固有値の単純性と孤立性に関する未解決問題を解消すること。
• 変分的設定（例：p-ラプラシアン）を超えて、非変分的かつ同次性を持つ完全非線形作用素への固有値理論を拡張すること。
• 勾配が消えない条件の下で、粘性解に対する強力な比較原理を確立し、1番目の固有関数の一意性を可能にする。
• 境界成分が複数ある領域においても、適切な正則性および次元制約の下で、1番目の固有関数がスケーリングを除いて一意であることを証明すること。

提案手法

• 粘性解理論を用いて、$ F[u] = |\nabla u|^\alpha \mathcal{M}_{a,A}^+(D^2u) + h(x) \cdot \nabla u |\nabla u|^\alpha $ の形をした作用素に対する主固有値問題を定義・分析する。
• 固定点法を適用して、解の $ C^{1,\beta} $ 正則性を確立し、これはホフプ法と勾配推定に応用する上で不可欠である。
• 特異作用素に適応されたアレクサンドロフ＝バケルマン＝プッチ（ABP）不等式を適用するが、サブ・スーパーソリューションの差の非線形性のため、制限が生じることに注意する。
• 2次元の場合にサードの定理を用いて、多重連結領域における符号変化を伴う固有関数を処理する。
• 強力な比較原理を適用：2つの解が接触しており、ある領域で勾配が消えない場合、それらは一致しなければならない。
• 最大原理と部分領域における固有関数との比較を用いて、固有関数が符号を変える、または固有値が極値でない場合に矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 主固有値は単純であるか。すなわち、任意の正の固有関数は1番目の固有関数と正のスカラー倍の違い以外に異なるか？
• RQ2 境界成分が複数ある領域において、1番目の固有関数の一意性は保証されるか？
• RQ3 勾配が0から離れている場合、特異な完全非線形方程式の粘性解に対して強力な比較原理は成り立つか？
• RQ4 非変分的かつ完全非線形設定において、主固有値の孤立性を保証する条件は何か？
• RQ5 領域が複数の連結成分を持つ場合、固有関数が符号を変えると、固有値構造はどのように変化するか？

主な発見

• 境界成分が1つの領域では、1番目の固有関数は正のスケーリングを除いて一意である。
• 境界成分が複数ある2次元領域では、$ \lambda^+ \neq \lambda^- $ かつ小さい固有値が正の固有関数に対応するという仮定の下で、1番目の固有関数の一意性が成立する。
• $ N=2 $ の場合、$ \lambda^+ \neq \lambda^- $ ならば、$ \lambda_1 = \max(\lambda^+, \lambda^-) $ に対応するすべての固有関数は正または負であり、主固有値に対して符号変化を伴う固有関数は存在しない。
• 主固有値は孤立している：$ \lambda_1 $ に近づく固有値の列が存在する場合、それらの固有関数は最終的に符号が一定でなければならない。これは、$ \lambda_1 $ の近傍に符号変化を伴う固有関数が存在するのと矛盾する。
• $ C^{1,\beta} $ 正則性は固定点法により確立され、これによりホフプ法と勾配推定が可能になり、強力な比較原理の証明が可能になる。
• 多重連結領域では、$ \partial\Omega^+ \cap \partial\Omega = \partial\Omega_1 $ および $ \partial\Omega^- \cap \partial\Omega = \partial\Omega_2 $ という仮定が、固有関数が符号を変えると仮定した場合にサードの定理により矛盾を引き起こす。