[論文レビュー] Regularity conditions for spherically symmetric solutions of Einstein-nonlinear electrodynamics equations; revised and improved version

Garcia-Diaz, Alberto A., Gutierrez-Cano, Gustavo|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2019

Advanced Differential Geometry Research被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、Lagrangian $ L(F) $ を持つ非線形電磁力学（NLE）と結合したアインシュタイン方程式の静的球対称解について、原点における厳密な正則性条件を確立する。曲率不変量 $ \Psi_2 $, $ S $, $ R $ に関する必要十分条件を導出し、正則な電場型 NLE 解が $ r \to 0 $ のとき $ \Psi_2, S, R \to 0, 0, (0, 4\Lambda + 4L(0)) $ を満たす必要があることを示す。電場および計量関数は $ \{E, \dot{E}, \ddot{E}\} \to \{0,0,0\} $ および $ \{Q, \dot{Q}, \ddot{Q}\} \to \{0,0,2\} $ のように滑らかに振る舞い、計量の一般積分表現が電場を用いて構築可能であることを明らかにする。

ABSTRACT

In this report, the regularity conditions at the center for static spherically symmetric (SSS) solutions of the Einstein equations coupled to nonlinear electrodynamics (NLE) with Lagrangian $\mathcal{L}= \mathcal{L}(\mathcal{F})$, depending on the electromagnetic invariant $\mathcal{F}=F_{\mu u}\,F^{\mu u}/4$, are established. The traceless Ricci (TR) tensor eigenvalue $S$, the Weyl tensor eigenvalue $\Psi_2$ and the scalar curvature $R$ characterize the independent Riemman tensor invariants of SSS metrics. The necessary and sufficient regularity conditions for electric NLE SSS solutions require $\lim_{r ightarrow 0}\{\Psi_2,S,R\} ightarrow \{0,0,(0,4\Lambda+ 4\mathcal{L}(0))\}$, such that the metric function $Q(r)$ and the electric field $q_0F_{rt}=:\mathcal{E}$ behave as $\{Q,\dot Q,\ddot Q\} ightarrow\{0,0,2\}$ and $\{\mathcal{E},\dot\mathcal{E},\ddot\mathcal{E}\} ightarrow\{0,0,0\}$, as $r ightarrow 0$. The general linear integral representation of the electric NLE SSS metric in terms of an arbitrary electric field $\mathcal{E}$, together with $\{\Psi_2,S,R\}$, is explicitly given. Moreover, beside the regular or singular behavior at the center, these solutions may exhibit different asymptotic behavior at spatial infinity such as the Reissner--Nordtr\"om (Maxwell) asymptotic, or present the dS--AdS or other kind of asymptotic.

研究の動機と目的

• 静的球対称時空におけるアインシュタイン-非線形電磁力学（NLE）解の中心における曲率特異性の不在に必要な十分条件を特定すること。
• 電場型 NLE 解において、$ r \to 0 $ の極限における主要な曲率不変量 $ \Psi_2 $, $ S $, $ R $ の振る舞いを特徴づけること。
• 計量関数 $ Q(r) $ の一般線形積分表現を電場 $ E(r) $ を用いて導出し、正則解の体系的構成を可能とすること。
• このような解の漸近的振る舞いを明確にし、リーマン＝ノールストローム型、dS–AdS 型、およびその他の時空幾何構造のタイプを区別すること。

提案手法

• 電磁的不変量 $ F $ に依存するラグランジアン $ L(F) $ を用いて、静的球対称計量に対するアインシュタイン-NLE 系の場方程式を導出する。
• SSS 時空のためのリーマンテンソルの独立な不変量を特定：トレースレスのリッチ固有値 $ S $、ウェイルテンソル固有値 $ \Psi_2 $、スカラー曲率 $ R $。
• $ r \to 0 $ の極限における $ \Psi_2 $, $ S $, $ R $ の振る舞いを分析し、正則性が、宇宙定数および $ L(0) $ に依存して、これらがすべて 0 に収束するか、有限値をとることを要求することを確立する。
• 電場 $ E(r) $ を含む線形積分表現を用いて、計量関数 $ Q(r) $ の一般解を構築し、原点での滑らかさを保証する。
• 場方程式から導かれるオイラー方程式を解くために変数変化法を適用し、$ L(F) $ および $ \Psi_2 $ の積分を用いた解を得る。
• 場関数の解析的条件を適用して正則性を検証し、物理的妥当性を保証するため、エネルギー条件（弱および優勢）を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 静的球対称アインシュタイン-NLE 解が原点で正則であるための、曲率不変量 $ \Psi_2 $, $ S $, $ R $ に対する必要十分条件は何か？
• RQ2 正則な NLE 解において、$ r \to 0 $ のとき計量関数 $ Q(r) $、電場 $ E(r) $、およびそれらの微分はどのように振る舞うか？
• RQ3 計量関数 $ Q(r) $ の一般積分表現を電場 $ E(r) $ を用いて構築可能か？また、その形式で正則性を保証する条件は何か？
• RQ4 正則な電場型 NLE 解において、どのような漸近的振る舞い（例：リーマン＝ノールストローム型、dS–AdS 型）が生じ得るか？また、それらはどのように区別されるか？
• RQ5 弱および優勢エネルギー条件は、正則な電場型 NLE 解において、ラグランジアン $ L(F) $ の形をどのように制約するか？

主な発見

• 正則な電場型 NLE 解では、$ \lim_{r \to 0} \Psi_2 = 0 $, $ \lim_{r \to 0} S = 0 $, および $ \lim_{r \to 0} R = 4\Lambda + 4L(0) $ が要求され、原点における曲率特異性が存在しないことを保証する。
• 電場およびその1階および2階微分は $ r \to 0 $ で $ \{E, \dot{E}, \ddot{E}\} \to \{0, 0, 0\} $ に収束し、計量関数およびその微分は $ \{Q, \dot{Q}, \ddot{Q}\} \to \{0, 0, 2\} $ に収束する。これは中心部での滑らかな振る舞いを示している。
• 計量関数 $ Q(r) $ の一般線形積分解が電場 $ E(r) $ を用いて導出され、正則性条件を満たす任意の $ E(r) $ から正則解を構成可能であることを示している。
• 本稿は、正則解が、$ L(F) $ の漸近的値および宇宙定数に応じて、リーマン＝ノールストローム型、デ de Sitter (dS) 型、反 de Sitter (AdS) 型、またはその他のタイプの時空幾何構造を示し得ることを確立している。
• 弱および優勢エネルギー条件は、正則な NLE 解において、ラグランジアン $ L(F) $ 及びその微分 $ L'(F) $ が適切な符号および単調性制約を満たす場合に満たされる。特に $ F=0 $ の近傍でその制約が重要である。
• 変数変化法によりオイラー方程式の明示的解が得られ、$ Q(r) $ が $ L(F) $ および $ \Psi_2 $ の積分の線形結合として構築可能である。正則性条件のもとで、場関数の解析的性が保証される。