[論文レビュー] Regularity criteria in weak $L^3$ for 3D incompressible Navier-Stokes equations

Yuwen Luo, Tai‐Peng Tsai|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2013

Navier-Stokes equation solutions参考文献 17被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、境界付近の弱 $L^3$ 空間における3次元非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の分布的解に対する新しい正則性基準を確立する。$u$ が $L^{\frown}(0,1;L^{3,\frown}(B_2))$ で十分に小さく、$p$ が $m>2$ に対して $L^m(0,1;L^1(B_2))$ に属するならば、$u$ は $B_1 \times (1/10,1)$ で有界であることが示され、勾配の有界性を仮定しない時間依存系へのキム＝コゾノの定常状態結果の拡張がなされる。

ABSTRACT

We study the regularity of a distributional solution $(u,p)$ of the 3D incompressible evolution Navier-Stokes equations. Let $B_r$ denote concentric balls in $\mathbb{R}^3$ with radius $r$. We will show that if $p\in L^{m} (0,1; L^1(B_2))$, $m>2$, and if $u$ is sufficiently small in $L^{\infty} (0,1; L^{3,\infty}(B_2))$, without any assumption on its gradient, then $u$ is bounded in $B_1 imes (\frac{1}{10},1)$. It is an endpoint case of the usual Serrin-type regularity criteria, and extends the steady-state result of Kim-Kozono to the time dependent setting. In the appendix we also show some nonendpoint borderline regularity criteria.

研究の動機と目的

• 3次元非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の時間依存分布的解に対する正則性基準を確立すること。
• 弱 $L^3$ 空間におけるセリーン型基準の端点ケース、特に $L^{\frown}(0,1;L^{3,\frown})$ を取り扱うこと。
• $u$ の勾配の有界性を要しないという点で、従来の弱解に関する結果と比較して主な新規性を提供すること。
• キムとコゾノの定常状態正則性結果を、$u$ と圧力に関する最小限の仮定の下で時間依存系へ拡張すること。

提案手法

• 勾配や圧力の仮定を必要としない、非常に弱い解における補正された内部正則性基準（$L^s(0,1;L^q(B_2))$ で $3/q + 2/s < 1$）に依存する。
• 補助関数 $\varphi$ と調和関数 $\eta$ を用いて、$v = \varphi u + \nabla \eta$ という局所化された速度 $v$ を構成し、摂動されたナビエ＝ストークス系を満たすようにする。
• 線形化系の解 $v^0$ と特異積分作用素 $\Phi$ を用いて、写像 $\Lambda v = v^0 - \Phi(\tilde{\varphi}u \otimes v)$ に固定点法を適用する。
• ヤングの不等式とローレンツ空間の推定を用いて、非線形項 $\Phi(\tilde{\varphi}u \otimes v)$ を $L^sL^{q+\delta}$ で制御し、所望の関数空間内での存在と一意性を保証する。
• 固定点法を閉じるため、$\|u\|_{L^{\frown}(0,1;L^{3,\frown}(B_2))}$ の小ささを用いることで、局所的有界性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 勾配の制御なしに、弱 $L^3$ での小ささと圧力の可積分性のみで、3次元ナビエ＝ストークス方程式の分布的解の正則性を保証できるか？
• RQ2 圧力が $m>2$ に対して $L^m(0,1;L^1)$ に属するとき、$u \in L^{\frown}(0,1;L^{3,\frown})$ という端点セリーン型基準が局所的有界性を示唆するか？
• RQ3 キムとコゾノの弱 $L^3$ 解に対する定常状態正則性結果を、最小限の仮定の下で時間依存系に拡張できるか？
• RQ4 標準的な弱解の仮定 $u \in L^2(0,1;H^1)$ や $u \in L^{\frown}(0,1;L^2)$ を仮定せず、正則性を達成できるか？

主な発見

• ある十分小さい絶対定数 $\varepsilon_1 > 0$ が存在し、$\|u\|_{L^{\frown}(0,1;L^{3,\frown}(B_2))} \leq \varepsilon_1$ かつ $p \in L^m(0,1;L^1(B_2))$（$m > 2$）ならば、$u$ は $B_1 \times (1/10, 1)$ で有界である。
• $\|u\|_{L^{\frown}(0,1;L^{3,\frown}(B_2))}$ の小ささが正則性を保証するのに十分であり、閾値 $\varepsilon_1$ は $m$ や $\|p\|_{L^m(0,1;L^1(B_2))}$ に依存しない。
• $u$ の勾配に関するいかなる仮定も不要であるため、古典的なセリーン型基準とは明確に異なる。
• 証明は $L^sL^q$ および $L^sL^{q+\delta}$ 空間（$3/q + 2/s = 1$）における固定点法に依拠し、補正された正則性基準により局所的有界性を確立する。
• 双対性に基づく熱ポテンシャルの定義を避ける代わりに、畳み込みに基づく $\Phi$ 作用素を用いることで、ローレンツ空間におけるより強い推定が可能になる。
• キムとコゾノの $L^{3,\frown} \times L^1_{\text{loc}}$ における定常状態正則性結果を、時間依存系に拡張し、新たな端点正則性基準を提供する。