[論文レビュー] Regularity criterion and energy conservation for the supercritical Quasi-Geostrophic equation

Mimi Dai|arXiv (Cornell University)|May 9, 2015

Navier-Stokes equation solutions参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、動的波数 $ Q(t) $ における拡散の分割を用いて、2次元超臨界準地転圧（SQG）方程式の新たな、より弱い正則性基準を確立する。$ B^{0}_{\infty,\infty} $ における低モード勾配の有界性が、グローバル正則性を示すことを示している。さらに、$ L^2(0,T; B^{1/2}_{2,c(\bbN)}) $ における粘性解に対してエネルギー保存則が成り立つことを証明し、超臨界領域における主要な未解決問題を解決する。

ABSTRACT

This paper studies the regularity and energy conservation problems for the 2D supercritical quasi-geostrophic (SQG) equation. We apply an approach of splitting the dissipation wavenumber to obtain a new regularity condition which is weaker than all the Prodi-Serrin type regularity conditions. Moreover, we prove that any weak solution of the supercritical SQG in $L^2(0,T; B^{1/2}_{2,c(\mathbb N)})$ satisfies energy equality.

研究の動機と目的

• 2次元超臨界準地転圧（SQG）方程式（$ 0 < \alpha < 1 $）に対して、既存のProdi-Serrin型条件よりも改善された、新たなより弱い正則性基準を確立すること。
• 任意の粘性解が $ L^2(0,T; B^{1/2}_{2,c(\bbN)}) $ に属する場合、エネルギー等式を満たすことを証明し、超臨界領域におけるエネルギー保存問題を解決すること。
• 新しい正則性条件が、Chae（2013）および著者の以前の研究を含む、すべての既知のProdi-Serrin型基準よりも厳密に弱いかどうかを示すこと。
• SQG方程式における非線形項と拡散項の影響を分離するための、新規の動的波数分割技術を導入すること。

提案手法

• 拡散項を動的波数 $ \lambda_{Q(t)} $ で分割する手法を用い、高モード拡散と低モード非線形相互作用を分離する。
• 分解 $ \theta = \theta_{\leq Q} + \theta_{>Q} $ および $ u = u_{\leq Q} + u_{>Q} $ を用いて、非線形項 $ u \cdot \nabla \theta $ を切り詰めたエネルギー推定により解析する。
• Bernsteinの不等式と階層的周波数局在化を用い、非線形相互作用項 $ r_Q(u,\theta) $ および $ u_{>Q} \theta_{>Q} \cdot \nabla \theta_{\leq Q} $ を制御する。
• Hölderの不等式、Youngの不等式、Jensenの不等式を適用し、$ \theta_p $ の周波数局在化 $ \ell^2 $-ノルムを用いて、剰余項の $ L^2 $-ノルムを制御する。
• エネルギー保存の証明は、$ Q \to \infty $ の極限において切り詰めた非線形フラックス $ \Pi_Q $ が消えることの証明に依拠する。$ L^2(0,T; B^{1/2}_{2,c(\bbN)}) $ 条件のもとで成立する。
• 証明は、$ t > t_0 > 0 $ に対して $ \|\theta(t)\|_{\infty} \leq C $ が成り立つこと、つまり $ \theta $ が $ L^\infty $ で一様有界であることに依拠している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超臨界SQG方程式に対して、すべての既知のProdi-Serrin型条件よりも厳密に弱いかつ、正則性基準を定式化することは可能か？
• RQ2 超臨界SQG方程式の粘性解が臨界空間 $ L^2(0,T; B^{1/2}_{2,c(\bbN)}) $ に属する場合、エネルギー保存則は成立するか？
• RQ3 動的波数分割技術は、超臨界SQG方程式における非線形効果と拡散効果を効果的に分離できるか？
• RQ4 弱解が $ L^2(0,T; B^{1/2}_{2,c(\bbN)}) $ に属する場合、エネルギー等式が保証されるか？
• RQ5 低モード勾配の制御（$ B^{0}_{\infty,\infty} $ で）が、超臨界SQGモデルにおける有限時間爆発を防ぐために果たす正確な役割は何か？

主な発見

• 本稿は、新たな正則性基準を確立した：適切な $ Q(t) $ に対して $ \int_0^T \|\nabla \theta_{\leq Q(t)}(t)\|_{B^{0}_{\infty,\infty}} dt < \infty $ が成り立つならば、解は $ [0,T] $ 上で正則のままである。
• この新しい基準は、Chae（2013）および著者の以前の研究（[14]）に含まれるすべての既知のProdi-Serrin型条件よりも厳密に弱い。
• 任意の粘性解が $ L^2(0,T; B^{1/2}_{2,c(\bbN)}) $ に属する場合、エネルギー保存則が証明され、エネルギー等式はほとんど everywhere で成り立つ。
• $ Q \to \infty $ の極限において、切り詰めた非線形フラックス $ \Pi_Q $ の極限が 0 に収束することを示し、$ L^2(0,T; B^{1/2}_{2,c(\bbN)}) $ 条件のもとでエネルギー保存が成立することが示された。
• 証明により、エネルギーフラックス分解における剰余項が $ Q \to \infty $ のとき $ L^1(0,T) $ で 0 に収束することが示された。これは $ \lambda_{|p-Q|}^{-1/2} \lambda_p \|\theta_p\|_{L^2}^2 $ のsummabilityに起因する。
• この結果により、$ B^{1/2}_{2,c(\bbN)} $ がエネルギー保存に十分であることが確認され、既存の文献における結果を拡張した。