[論文レビュー] Regularity for convex viscosity solutions of special Lagrangian equation

Jingyi Chen, Ravi Shankar+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 23被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、特別ラグランジュ方程式の凸な粘性解が、定義域の内部で実解析的であることを確立する。座標系を回転させることでヘッセ固有値を $[-1,1]$ に制限し、最大固有値の下調和性と強い最大原理を用いて、厳密なヘッセ評価を得る。これにより解析性が示され、解の振幅に依存する有効なヘッセ評価が得られる。

ABSTRACT

We establish interior regularity for convex viscosity solutions of the special Lagrangian equation. Our result states that all such solutions are real analytic in the interior of the domain.

研究の動機と目的

• 特別ラグランジュ方程式 $\sum \arctan \lambda_i - \Theta = 0$ の凸な粘性解について、内部正則性を確立すること。
• このような解が内部で実解析的であることを証明し、特別ラグランジュ幾何における長年の正則性問題を解決すること。
• 解の振幅と次元にのみ依存する有効なヘッセ評価を得ること。
• コンパクト性と正則性を用いて、一般の凸領域間の第二境界値問題に対する滑らかな解の存在を拡張すること。

提案手法

• ヘッセ固有値を $[0,\infty)$ から $[-1,1]$ に写像する座標の回転を適用し、幾何的構造を単純化する。
• 回転されたグラフ上の誘導計量 $\bar{g} = I + D^2\bar{u} D^2\bar{u}$ を用いて、$b_m = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \ln \sqrt{1 + \bar{\lambda}_i^2}$ の下調和性を分析する。
• 曲率式における非負係数配置を用い、最大固有値 $\bar{\lambda}_{\max} = 1$ となる点の近傍で $\Delta_{\bar{g}} b_m \geq 0$ を確立する。
• 強い最大原理を適用し、$\bar{\lambda}_{\max} \equiv 1$ が領域全体で成り立つことを結論づけ、そうでなければ矛盾が生じることを示す。
• 二次のバリア関数を用いて、任意の内部点で $D^2\bar{u} = I$ であることに矛盾を示し、$D^2\bar{u} < I$ が厳密に成り立つことを証明する。
• 古典的楕円型理論および [CWY] と [WdY2] の事前推定を活用し、解析性と有効なヘッセ評価を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特別ラグランジュ方程式 $\sum \arctan \lambda_i = \Theta$ の凸な粘性解は、内部で必ず滑らかいか、あるいは解析的であるか？
• RQ2 厳密な強凸性や $C^{1,1}$ 正則性を仮定せずに、このような解の正則性を確立できるか？
• RQ3 凸な粘性解のヘッセ行列は、解の振幅にのみ依存する有効な評価を満たすか？
• RQ4 粘性解とコンパクト性を用いて、一般の凸領域間の特別ラグランジュ方程式の第二境界値問題を解くことができるか？

主な発見

• 特別ラグランジュ方程式のすべての凸な粘性解は、定義域の内部で実解析的である。
• 有効なヘッセ評価が確立された：$|D^2u(0)| \leq C(n) \exp\left[C(n) \operatorname{osc}_{B_1(0)} u\right]^{2n-2}$ ここで $C(n)$ は次元に依存する定数である。
• 解 $u$ は $B_1(0)$ で $D^2u < \infty$ を満たし、滑らかさと解析性を示す。
• この結果から、特別ラグランジュ方程式の整関数である凸な粘性解はすべて二次関数であることが導かれる。
• 近似と正則性を用いて、一般の凸領域間の第二境界値問題に対する内部滑らかな解の存在が確立される。
• [CCY] で示されたように、ラグランジュ平均曲率フローの長時間存在において、事前 $C^{1,1}$ 正則性の必要性がこの手法によって排除される。