[論文レビュー] Regularity for fully non linear equations with non local drift

Héctor A. Chang Lara|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2012

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 5被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、非局所的ドリフト項の核の奇関数部分が1から偶関数部分のオーダーの間にある非線形完全非線形積分微分方程式の粘性解のホルダー連続性を確立する。非対称核と勾配項を扱うために、アレクサンドロフ＝バケルマン＝プッチ推定値を修正し、奇関数部分に対称性や可積分性の仮定を課さずに、点推定とホルダー連続性を証明する。特に、$\Delta^{1/2}u + |Du| = 0$ が主要な例として回復される。

ABSTRACT

We prove Holder regularity for solutions of non divergence integro-differential equations with non necessarily even kernels. The even/odd decomposition of the kernel can be understood as a sum of a diffusion and a drift term. In our case we assume that such drift have the order smaller than or equal to the diffusion and at least one. For example we can say something about the following equation $Δ^{1/2}u + |Du| = f$. The main step relies in a localized version of the Aleksandrov-Bakelman-Pucci estimate. Our estimates are also uniform as the order of the equation goes to two.

研究の動機と目的

• 完全非線形積分微分方程式の非局所的ドリフト項を伴う粘性解のホルダー連続性を確立すること。
• 非局所作用素の正則性理論を制限していた核の対称性仮定を排除すること。
• ドリフト項と拡散項のオーダーが等しい場合、例えば $\\Delta^{1/2}u + |Du| = 0$ のような場合を扱えるようにすること。
• スケーリング下で非対称核に起因する勾配項を制御できる、強固なABP型推定値を開発すること。
• 非対称核および非局所的ドリフト項を伴う非局所方程式に、クリロフ＝サフォノフの正則性理論を拡張すること。

提案手法

• 勾配項の影響を局所化するためのバリア関数を構築することで、古典的なクリロフ＝サフォノフABP推定値を非局所作用素に非対称核を含めて適応する。
• 核の奇関数部分（非対称部分）を摂動項として扱い、右辺を局所化する特別な関数を用いて、修正されたABP推定値を導入する。
• 2次微分項と非局所項を含むスケーリング不変な線形作用素の族を用い、すべてのスケールで一様な制御を保証する。
• ABP推定値から導かれる被覆論法による離散的点推定を用いて、上位集合の $L^\\epsilon$ 型の減衰を確立する。
• クリロフ＝サフォノフ理論で標準的である「振幅の縮小」議論を用い、点推定からホルダー連続性を導出する。
• 最小限の構造的仮定を課す：核の奇関数部分のオーダーは $\sigma \in [1, \sigma_e]$ であり、$\sigma_e$ は偶関数部分のオーダーを表す。対称性や可積分性の仮定は一切不要。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 核が非対称である場合でも、非局所的ドリフト項を伴う完全非線形積分微分方程式のホルダー連続性を確立できるか？
• RQ2 偶関数部分と奇関数部分の相対的オーダーにどのような条件が正則性を保証するか、特に両者が同じオーダーである場合に注目する。
• RQ3 古典的なクリロフ＝サフォノフABP推定値は、非対称核および非対称核に起因する勾配項を伴う非局所作用素に適応可能か？
• RQ4 奇関数部分が可積分でも非対称でもない場合、非局所方程式の正則性理論はスケーリングに対して頑健か？
• RQ5 $\Delta^{1/2}u + |Du| = 0$ が核の対称性を仮定せずともホルダー連続解を持つことを示せるか？

主な発見

• 本稿では、核が非対称であっても非局所的ドリフト項の影響を制御できる修正されたアレクサンドロフ＝バケルマン＝プッチ推定値を確立する。
• 点推定が証明された：任意の非負解 $u$ に対して $\mathcal{M}^-_{\mathcal{L}}u \leq f$ が $B_1$ で成り立つとき、超レベル集合 $\{u > t\} \cap B_{1/4}$ は、ある普遍的な $\varepsilon > 0$ に対して $t^{-\varepsilon}$ のオーダーで減衰する。定数は次元と楕円的性にのみ依存する。
• 粘性解 $u$ に対して $Iu = f$ が $B_1$ で成り立つとき、$u \in C^\alpha(B_{1/2})$ のホルダー連続性が確立され、普遍的な $\alpha \in (0,1)$ と $\|u\|_{L^\infty}$, $\|f\|_{L^\infty}$, および境界データに依存するノルム推定値が得られる。
• 平行移動不変方程式では、核の勾配に追加の仮定 $|DK| \leq C|y|^{n+\sigma+1}$ が成り立つ場合、$C^{1,\alpha}$ 連続性が得られる。
• 方程式のオーダーが2に近づくと、古典的2階方程式のケースに一致し、クリロフ＝サフォノフ理論と整合性を示す。
• $\Delta^{1/2}u + |Du| = 0$ が、ドリフト項と拡散項のオーダーが等しくても、核の対称性を仮定せずともホルダー連続解を持つことが示され、これは従来の対称性仮定下では達成できなかった。