[論文レビュー] Regularity for fully nonlinear nonlocal parabolic equations with rough kernels

Joaquim Serra|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非局所放物型方程式の粘性解について、粗いカーネルを有する場合の空間的・時間的正則性を、新規のリウヴィル型定理と吹き抜き／コンパクトネスの議論を用いて確立する。有界な解は、空間的 Hölder 継続性（指数 $eta < \min\{\sigma, 1+\alpha\}$）および時間的 Hölder 継続性（指数 $eta/\sigma$）を示し、従来の結果を放物型設定および $ olimits \leq 1$ の場合にまで拡張する。

ABSTRACT

We prove space and time regularity for solutions of fully nonlinear parabolic integro-differential equations with rough kernels. We consider parabolic equations $u_t = \I u$, where $\I$ is translation invariant and elliptic with respect to the class $\mathcal L_0(σ)$ of Caffarelli and Silvestre, $σ\in(0,2)$ being the order of $\I$. We prove that if $u$ is a viscosity solution in $B_1 imes (-1,0]$ which is merely bounded in $\R^n imes (-1,0]$, then $u$ is $C^β$ in space and $C^{β/σ}$ in time in $\overline{B_{1/2}} imes [-1/2,0]$, for all $β&lt; \min\{σ, 1+α\}$, where $α&gt;0$. Our proof combines a Liouville type theorem ---relaying on the nonlocal parabolic $C^α$ estimate of Chang and Dávila--- and a blow up and compactness argument.

研究の動機と目的

• 完全非線形非局所放物型方程式の内部正則性推定値を、$\mathcal{L}_0(\sigma)$ に属する粗いカーネルを有する場合に確立すること。ここで $\sigma \in (0,2)$ である。
• 同じ粗いカーネルの仮定の下で、楕円型方程式における $C^{1+\alpha}$ 正則性理論を放物型方程式に拡張すること。
• 非局所設定における増分商の $L^\infty$ ノルムにおけるグローバル制御の欠如が、古典的反復法を阻害することに起因する課題に対処すること。
• 従来の手法の範囲外に適用可能な、リウヴィル型定理および吹き抜き／コンパクトネスの議論に基づく、新たな証明戦略を提供すること。
• 古典的 $C^{1+\alpha}$ 評価が、遠方の振動の強い影響のため $\sigma \leq 1$ の場合に失敗するが、その状況下でも $\sigma \leq 1$ の正則性結果を導出すること。

提案手法

• 非局所放物型方程式 $u_t = \tilde{I}u$ のグローバル解に対してリウヴィル型定理を確立し、一階モーメントが消える有界グローバル解がアフィン関数であることを示す。
• 吹き抜きおよびコンパクトネスの議論を用いる：関心のある点の近傍で解をスケーリングし、スケーリングされた関数列から極限解を抽出する。
• Chang と Dávila の非局所放物型 $C^\alpha$ 評価を適用し、スケーリングされた解の成長を制御し、グローバル解への収束を保証する。
• スケーリング過程で最小二乗法の最適化条件（平均と一次項の消去）を用いて対称性を強制し、極限挙動を制御する。
• 拡大する放物型シリンダー $Q_R^{\sigma_m}$ におけるスケーリングされた解の成長を、増分商のオscillation に関する再帰的推定式で制御する。
• スケーリングされた方程式で極限をとることにより、極限解が並進不変かつ楕円型非局所方程式を満たすことを示し、解が滑らかでない場合には矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全非線形非局所放物型方程式の粘性解について、$\mathcal{L}_0(\sigma)$ に属する粗いカーネルを有する場合に、空間的 $C^{\beta}$ および時間的 $C^{\beta/\sigma}$ 正則性を確立できるか？
• RQ2 非局所方程式における粗いカーネルを有する場合、増分商のグローバル $L^\infty$ 制御の欠如により、Hölder 正則性を向上させるための古典的反復法が失敗するのか？
• RQ3 反復法の失敗を回避するためにリウヴィル型定理を用いることで、非局所設定における内部正則性推定値を導出可能か？
• RQ4 粗いカーネルの仮定の下で、$\sigma \leq 1$ の場合に $C^{1+\alpha}$ 正則性結果を拡張可能か？ここで従来の手法は失敗する。
• RQ5 非局所放物型方程式に粗いカーネルを有する場合、$\mathbb{R}^n \times (-1,0]$ で有界である解の、鋭い正則性閾値は何か？

主な発見

• 有界な解 $u$ が $\mathbb{R}^n \times (-1,0]$ で有界であり、$B_1 \times (-1,0]$ で $u_t = \mathrm{I}u$ を満たすならば、$\overline{B_{1/2}} \times [-1/2,0]$ において空間的 $C^\beta$ および時間的 $C^{\beta/\sigma}$ に属する。ここで $\beta < \min\{\sigma, 1+\alpha\}$ である。
• 正則性閾値 $\beta < \min\{\sigma, 1+\alpha\}$ は鋭い：$\sigma \leq 1$ の場合、空間的正則性の最高到達点は $C^{\sigma - \epsilon}$ であり、$\sigma > 1$ の場合、$C^{1+\alpha - \epsilon}$ である。
• 本証明は、グローバル $L^\infty$ 制御の欠如による古典的反復スキームの失敗を避けるために、リウヴィル定理および吹き抜き／コンパクトネスに基づく新規な手法を導入する。
• この手法は柔軟であり、時間依存性を有する非局所方程式や境界正則性問題への応用が可能である。
• 結果は $\sigma \in (0,2)$ に対して一様に成り立ち、$\sigma \leq 1$ を含む。ここで従来の $C^{1+\alpha}$ 評価はより滑らかなカーネルを必要としていた。
• コンパクトネスの議論により、スケーリング列がアフィン関数に収束しないと仮定した場合に矛盾が生じる。これにより、解が正則でなければならないことが示される。