[論文レビュー] Regularity for non-local almost minimal boundaries and applications

Michèle Caputo, Nestor Guillen|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2010

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 10被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、分数次ソボレフエネルギーを用いて定義される非局所的ほぼ最小境界のための、Almgren-De Giorgi-Tamaniniの正則性理論の非局所版を確立する。平坦な非局所的ほぼ最小集合が $C^{1,\rho}$ 正則であることを証明することで、古典的結果を分数次エネルギーへと拡張する。主な貢献は、非局所的ほぼ最小境界の完全な正則性理論の構築であり、平坦な点近傍での $C^{1,\rho}$ 正則性と、$n-2$ 次元の特異集合の推定を含む。これには、新規の変分不等式と単調性公式が用いられる。

ABSTRACT

We introduce a notion of non-local almost minimal boundaries similar to that introduced by Almgren in geometric measure theory. Extending methods developed recently for non-local minimal surfaces we prove that flat non-local almost minimal boundaries are smooth. This can be viewed as a non-local version of the Almgren-De Giorgi-Tamanini regularity theory. The main result has several applications, among these $C^{1,α}$ regularity for sets with prescribed non-local mean curvature in $L^p$ and regularity of solutions to non-local obstacle problems.

研究の動機と目的

• 分数次ソボレフエネルギーによって定義される非局所的ほぼ最小境界のための、Almgren-De Giorgi-Tamanini正則性理論の拡張を図ること。
• エネルギー関数 $H^{s/2}$ に対してほぼ最小である集合について $C^{1,\rho}$ 正則性を確立すること。
• このような境界の特異集合がハウスドルフ次元 $n-2$ 以下であることを証明し、古典的結果を模倣すること。
• 非局所的ほぼ最小設定において、古典的オイラー＝ラグランジュ方程式の代わりに変分不等式を構築すること。
• 非局所平均曲率問題や障害問題への応用の基盤を提供すること。

提案手法

• 非局所エネルギー関数に対する $(J_s, \rho, \delta)$-最小性の概念を導入し、古典的ほぼ最小集合を一般化すること。
• 離散的反復法とは補完的に、デ・ジョルジの微分不等式の非局所的拡張を用いて、一様な体積密度推定を証明すること。
• ほぼ最小の場合の最小曲面方程式の代わりに機能する変分不等式（定理 5.15）を確立すること。
• ブロー・アップとコンパクトネスの議論による平坦性の向上を可能にする部分ハーナック推定（定理 5.18）を導出すること。
• エネルギー関数 $\Phi_E(r)$ に対する単調性公式を証明し、それが非減少であり、同次関数でのみ消失することを示すこと。
• ブロー・アップ解析と次元削減技術を適用し、特異集合のハウスドルフ次元が $n-2$ 以下であることを結論づけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所的ほぼ最小境界が平坦な点の近傍で $C^{1,\rho}$ 正則であるための条件は何か？
• RQ2 古典的 Almgren-De Giorgi-Tamanini 正則性理論は、非局所エネルギー関数へと拡張可能か？
• RQ3 古典的オイラー＝ラグランジュ方程式が存在しない非局所的ほぼ最小集合を特徴づける変分不等式は何か？
• RQ4 非局所的ほぼ最小境界の特異集合はハウスドルフ次元の観点でどのように振る舞うか？
• RQ5 エネルギー関数の単調性公式は、ブロー・アップ極限の分類と正則性の証明に用いることができるか？

主な発見

• 集合 $E$ が $B_1$ で $(J_s, \rho, \delta)$-最小であり、$\delta$-平坦で $\delta \leq \delta_0(n,s,\rho)$ ならば、$\partial E$ は $B_{1/2}$ で $C^{1}$ である。
• $\partial E$ が $C^1$ でない点の集合のハウスドルフ次元は $n-2$ 以下である。
• エネルギー関数 $\Phi_E(r)$ は $r$ に関して非減少であり、$\Phi_E'(r) \geq \frac{1}{r^{n-s}} \int_{\partial B_r^+} z^a (\hat{u}_\nu)^2 dX$ を満たす。これは単調性を示唆する。
• ある $\delta_0 > 0$ に対して $\Phi_E(0) < \Phi_H + \delta_0$ ならば、原点近傍で $\partial E$ は $C^{1,\hat{\rho}}$ である。
• ほぼ最小集合のブロー・アップ極限は最小錐であり、錐が半空間でない限り、エネルギーギャップ $\Phi_C \geq \Phi_H + \delta_0$ が成り立つ。
• 非局所障害問題において、$\partial E$ は障害の近傍で $C^{1,\alpha}$ である。ただし $\alpha < s$ である。