[論文レビュー] Regularity in $L_p$ Sobolev spaces of solutions to fractional heat equations

Gerd Grubb|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非局所作用素 $(-\Delta)^a$ や一般の位相 $d>0$ の擬微分作用素を含む分数階熱方程式の解について、非一様 $L_p$ ソボレフ空間における鋭い正則性推定を確立する。$\mathbb{R}^{n+1}$ 上に新規の記号計算を導入し、右辺 $f$ が $H^{(s,s/d)}_{p,\text{loc}}(\Omega\times I)$ に属するならば、解 $u$ は $H^{(s+d,s/d+1)}_{p,\text{loc}}(\Omega\times I)$ に属することを示す。同様の結果が ベゾフ空間および ホルダー空間に対しても得られる。

ABSTRACT

This work contributes in two areas, with sharp results, to the current investigation of regularity of solutions of heat equations (*) $Pu+\\partial_tu=f$ on $\\Omega\ imes I $, where $P$ is a nonlocal operator, and $\\Omega \\subset R^n$, $I\\subset R$. 1) For $P$ a strongly elliptic pseudodifferential operator ($\\psi $do) on $R^n$ of order $d\\in R_+$, a symbol calculus on $R^{n+1}$ is introduced, that allows showing optimal regularity of solutions in the scale of anisotropic Bessel-potential spaces $H^{(s,s/d)}$, globally over $R^n\ imes R$, and locally over $\\Omega\ imes I$, for $s\\in R$, $1<p<\\infty $. Similar results hold in anisotropic Besov spaces $B^{(s,s/d)}$. 2) Let $\\Omega $ be smooth bounded, and let $P$ equal $(-\\Delta)^a$ ($0<a<1$), or its generalizations to singular integral operators with regular kernels, that are infinitesimal generators of stable L\\'evy processes. With the Dirichlet condition $u=0$ on $R^n\\setminus\\Omega$, the initial condition $u|_{t=0}=0$, and $f\\in L_p(\\Omega \ imes I)$, (*) has a unique solution $u\\in L_p(I, H_p^{a(2a)}(\\bar\\Omega))$ with $\\partial_tu\\in L_p(\\Omega \ imes I)$. Here $H_p^{a(2a)}(\\bar\\Omega)$ equals $\\dot H_p^{2a}(\\bar\\Omega)$ if $a<1/p$, and is contained in $\\dot H_p^{2a-\\varepsilon}(\\bar\\Omega)$ if $a=1/p$, but contains nontrivial elements from $ d^a \\bar H_p^{a}(\\Omega)$ if $a>1/p$ (where $d(x)= \\operatorname{dist}(x,\\partial\\Omega)$). The interior regularity of $u$ is lifted when $f$ is more smooth.

研究の動機と目的

• 非局所作用素を伴う分数階熱方程式の解について、非一様 $L_p$ ソボレフ空間における最適正則性推定を確立すること。
• 任意の正の位相 $d$ を持つ強楕円的擬微分作用素に対して、$\mathbb{R}^{n+1}$ 上に新しい記号計算を構築すること。
• $\mathbb{R}^{n+1}$ 上のグローバル設定から、任意の開集合 $\Sigma\subset\mathbb{R}^{n+1}$ 上のローカル設定への正則性結果の拡張。
• 有界領域における非局所熱方程式 $Pu + \partial_t u = f$ のディリクレ条件および初期条件の下での解の挙動を分析すること。
• 特に $a > 1/p$ または $a = 1/p$ の場合に、$L_p$-ベースのソボレフ空間における正則性の正確な増加を特定すること、特に鋭い埋め込みおよびトレース性質を含む。

提案手法

• 位相 $d>0$ の擬微分作用素 $P$ について、$\mathbb{R}^{n+1}$ 上に体系的な記号計算を導入し、時間微分 $\partial_t$ を全作用素 $P + \partial_t$ の一部として扱う。
• 空間変数と時間変数のスケーリングの違いを捉えるために、非一様ベッセル・ポテンシャル空間およびベゾフ空間 $H^{(s,s/d)}_p$ と $B^{(s,s/d)}_p$ を適用する。
• フーリエ乗算子の理論およびリツォルキンの基準を用いて、作用素 $P + \partial_t$ が非一様ソボレフ空間間で有界かつ正則であることを証明する。
• 制限および拡張技術を用いて、$\mathbb{R}^{n+1}$ 上の結果を $\Omega \times I$ という開集合上に局所化する。
• $\operatorname{supp} u \subset \overline{\Omega}$ というディリクレ条件および $u|_{t=0} = 0$ という初期条件を用いて、時間重み付きソボレフ空間におけるグローバル $L_p$-正則性を導出する。
• 特にホルダー空間および局所正則性に対して、等方的空間との比較および補間技法を用いて埋め込みおよびトレース結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所作用素 $P$ が位相 $d>0$ を持つ分数階熱方程式 $Pu + \partial_t u = f$ の解について、$L_p$ ソボレフ空間における最適正則性の増加は何か？
• RQ2 解 $u$ の正則性は、非一様 $L_p$-ソボレフ空間における右辺 $f$ の滑らかさにどのように依存するか？
• RQ3 $P = (-\Delta)^a$ かつ $f \in L_p(\Omega \times I)$ のとき、$u \in L_p(I, H_p^{a(2a)}(\overline{\Omega}))$ における $u$ の正確な正則性は何か、特に $a > 1/p$ の場合に注目する。
• RQ4 解 $u$ の局所正則性特性は、非一様ソボレフスケールにおける $f$ の滑らかさをどのように反映するか？
• RQ5 特に $a = 1/p$ または $a > 1/p$ の場合に、非一様ホルダー空間およびソボレフ空間における解の鋭い埋め込みおよびトレース特性は何か？

主な発見

• $f \in H^{(s,s/d)}_{p,\text{loc}}(\Omega \times I)$ ならば、解 $u$ は $u \in H^{(s+d,s/d+1)}_{p,\text{loc}}(\Omega \times I)$ を満たし、非一様 $L_p$ ソボレフ空間における鋭い正則性増加が確立される。
• この結果は $\mathbb{R}^{n+1}$ 上でグローバルに成り立ち、任意の開集合 $\Sigma \subset \mathbb{R}^{n+1}$ 上でも同様の正則性増加が成立する。
• ベゾフ空間 $B^{(s,s/d)}_p$ および非一様ホルダー空間 $C^{(s,s/d)}$ に対しても同様の正則性結果が得られる。
• $P = (-\Delta)^a$ を滑らかな有界領域 $\Omega$ 上で考えるとき、$f \in L_p(\Omega \times I)$ ならば、解は $u \in L_p(I, H_p^{a(2a)}(\overline{\Omega}))$ および $\partial_t u \in L_p(\Omega \times I)$ を満たす。
• $a < 1/p$ のとき、$H_p^{a(2a)}(\overline{\Omega}) = \dot{H}_p^{2a}(\overline{\Omega})$ である。$a = 1/p$ のとき、$\dot{H}_p^{2a - \varepsilon}(\overline{\Omega})$ に含まれる。$a > 1/p$ のとき、$d^a \overline{H}_p^a(\Omega)$ からの非自明な要素を含む。
• $f$ が滑らかになるにつれて $u$ の正則性が向上し、その増加は非一様スケールにおける $f$ の滑らかさに依存する。