[論文レビュー] Regularity in time along the coarse scale flow for the incompressible Euler equations

Philip Isett|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2013

Navier-Stokes equation solutions被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、速度場が時間に一様に空間で $C^{\alpha}$ である場合、弱解の粒子軌道が時間に関して指数 $1/(1-\bar{\alpha})$ で Hölder 継続的であることを確立する。ただし、$1/(1-\alpha)$ が整数でない場合に限る。この結果は、滑らかさの境界領域における Hölder 空間への古典的正則性結果の拡張であり、凸統合構成における制約を明確にするために、対流導関数および粗スケール流れに沿ったテイラー展開の精密な解析に依拠している。

ABSTRACT

One of the most remarkable features of known nonstationary solutions to the incompressible Euler equations is the phenomenon known as the Taylor hypothesis, which predicts that coarse scale averages of the velocity carry the fine scale features of the flow. In this work, we develop a time regularity theory for Euler weak solutions based on quantitative expressions of this hypothesis. We assume only that our velocity field is Hölder continuous in the spatial variables, which is well-motivated by problems related to turbulence, but precludes the application of Lagrangian methods or local well-posedness theory. Despite the dramatic lack of well-posedness, we obtain a rich theory of regularity in time for solutions, especially concerning advective derivatives. In particular, any Euler flow of class $v \in L_t^\infty C_x^α$ has continuous advective derivatives of any order less than $\fracα{1-α}$, and every point has a trajectory passing through it that is $C^r$ for all $r < \frac{1}{1-α}$, and one that is $C^\infty$ if $v$ is $C^1$ or $v \in \bigcap_{α< 1} L_t^\infty C_x^α$ has borderline regularity. In a follow up work, we show that all trajectories are of class $C^{1/(1-α)}$ in time whenever $1/(1-α) otin {\mathbb Z}$, whether or not the trajectories are unique.

研究の動機と目的

• 弱解に対する非圧縮性オイラー方程式の粒子軌道の時間正則性を、空間的正則性の最小限の仮定のもとで確立すること。
• 古典的結果を $C^{1,\alpha}$ 解を超えて境界領域の $C^{\alpha}$ 情報にまで拡張すること。
• 対流導関数および粗スケール流れが、軌道およびエネルギー分布の正則性に与える制約の役割を明確にすること。
• 凸統合構成およびオンサージェーの予想に寄与する時間正則性の定量的評価を提供すること。
• 空間の Hölder 指数 $\alpha$ と関連して、エネルギー分布の正則性の鋭さを調査すること。

提案手法

• 微細スケールの特徴を平均速度によって運ばれるものとモデル化する、テイラー仮説に基づく時間正則性理論を構築する。
• 周波数局在化 $P_{\leq k}$ を用いた粗スケール流れ分解により、高階の対流導関数を分析する。
• 軌道に沿った $P_{\leq k}v$ の繰り返し時間微分を含む剰余項を有する修正されたテイラー展開を適用する。
• $k \to \infty$ の極限において、切り捨てられたテイラー展開の一様収束性を確立し、軌道の $C^{1/(1-\alpha)}$ 正則性を証明する。
• $C^1$ 関数において弱導関数と古典的導関数が等価であることを利用し、極限における古典的微分法の正当化を図る。
• 時間正則性とエネルギー分布の正則性を結びつけるために、[CET94] および [IO16] の推定を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に一様に空間で $C^{\alpha}$ である弱オイラー解に対して、粒子軌道の最良の時間正則性は何か？
• RQ2 一意性や古典的解が存在しない状況下で、高階の対流導関数が時間正則性にどのように制約を加えるか？
• RQ3 凸統合構成における物質微分の上限が、オイラー方程式そのものに由来するものなのか、構成の副産物なのか、その程度は何か？
• RQ4 空間正則性 $\alpha < 1/3$ のオイラー流のエネルギー分布は一般に不規則であり、有界 Variation でない可能性があるか？
• RQ5 もし $1/(1-\alpha) \notin \mathbb{Z}$ ならば、軌道の $C^{1/(1-\alpha)}$ 正則性は鋭いか？

主な発見

• 時間に一様に空間で $C_x^\alpha$ である解 $v \in L_t^\infty C_x^\alpha$ の粒子軌道は、$1/(1-\alpha)$ が整数でない限り、時間に関して $C_t^{1/(1-\alpha)}$ のクラスに属する。
• 軌道の時間正則性は空間の Hölder 正則性 $\alpha$ に依存し、与えられた仮定のもとで $C^{1/(1-\alpha)}$ が正則性クラスとして鋭いものである。
• 高階の対流導関数の存在と改善された正則性は、証明にとって不可欠であり、凸統合スキームの設計に制約を加える。
• 周波数 $\lambda \approx 2^k$ の自然な時間スケールは $\sim \lambda^{-(1-\alpha)}$ であり、$C^\alpha$ 正則性を達成しようとするいかなる構成でもこれを尊重しなければならない。
• 空間正則性 $\alpha < 1/3$ のオイラー流のエネルギー分布は、一般に不規則であり、有界 Variation でなく、任意の区間でも単調でない可能性がある。
• この結果は、正則性が $1/3$ 未満のエネルギー散逸が不安定であることを確認しており、乱流流れにおける速度フラクチュエーションの唯一の安定なスケーリングが $1/3$ であることを示唆する。