[論文レビュー] Regularity of asymptotically conical Ricci-flat Kähler metrics

Craig van Coevering|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、リッチ平坦なケーラー錐のクリープント解体におけるリッチ平坦ケーラー計量の鋭い収束速度を確立し、コンpactに台を持つコhomology類に属する計量が、錐計量へ $ O(r^{-2m-k}) $ の速度で収束することを証明している。これはALE計量で観察される減衰と一致する。ヒートカーネルの評価と重み付き Hölder 空間解析を用いて、ジョイスのALE結果を漸近的に錐状の多様体へと拡張した。

ABSTRACT

Using methods of A. Grigor'yan and L. Saloff-Coste we prove that on a manifold with a conical end the heat kernel has a Gaussian bound. This result is applied to asymptotically conical Kähler manifolds. It is a result of the author and R. Goto that a crepant resolution of a Ricci-flat Kähler cone admits a Ricci-flat Kähler metric asymptotic to the cone metric in every Kähler class. We prove the sharp rate of convergence of the metric to the cone metric. For compact Kähler classes this is the same as for the Ricci-flat ALE metrics of P. Kronheimer and D. Joyce.

研究の動機と目的

• 漸近的に錐状の多様体上のリッチ平坦ケーラー計量がそのモデル錐計量へ収束する際の鋭い収束速度を確立すること。
• ALE空間におけるリッチ平坦計量の解析を、任意のササキ基底多様体を持つより一般的な漸近的に錐状のケーラー多様体へと拡張すること。
• これらの多様体上でのMonge-Ampère方程式の解が、ALE多様体上でのそれらと同様に振る舞い、最適な減衰速度を確保することを証明すること。
• 重み付きソボレフ空間および Hölder 空間を用いて、漸近的に錐状のリッチ平坦ケーラー計量に対する完全なCalabi型の存在および正則性理論を構築すること。
• 特に、Gorensteinのトーリックケーラー錐とそのクリープント解体、および厳密に凸な補助関数を用いた、明示的な例の構成をトーリック幾何学によって行うこと。

提案手法

• スケール不変Poincaré不等式と体積二重性を用いて、離散化技術を介して、錐状の端を持つ多様体上のヒートカーネルにガウス型評価を確立した。
• Grigor’yanおよびSaloff-Costeの手法を用いて、放物型ハルナック不等式および関連するヒートカーネル推定を証明した。
• 漸近的に錐状の多様体上での線形化されたMonge-Ampère方程式を取り扱うために、重み付きHölder空間上でのラプラシアンの解析を行った。
• 重み付きソボレフ不等式および重み付きHölder空間の理論を用いて、複素Monge-Ampère方程式の解の存在性と正則性を証明した。
• 多様体の漸近的錐構造と整合するように、多面体錐上での厳密に凸な補助関数を用いて、トーリック幾何学により明示的なケーラー計量を構成した。
• 錐計量のフレームにおける曲率差の減衰を解析することで、リッチ平坦計量の収束速度がALEの場合と一致することを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リッチ平坦ケーラー錐のクリープント解体上でのリッチ平坦ケーラー計量が、モデル錐計量へ収束する最適な速度は何か？
• RQ2 錐状の端を持つ多様体上でのヒートカーネル推定は、重み付き関数空間におけるラプラシアンおよびMonge-Ampère方程式の解析をどのように可能にするか？
• RQ3 ALE多様体上でのリッチ平坦計量の存在および正則性に関する結果は、一般のササキ基底多様体を持つ漸近的に錐状のケーラー多様体へどの程度まで拡張可能か？
• RQ4 トーリック幾何学を用いて、コンpactに台を持つコhomology類を持つクリープント解体上での明示的なリッチ平坦ケーラー計量の構成は可能か？
• RQ5 多様体のトーリック解体上での厳密に凸な補助関数が、鋭い減衰速度を示すリッチ平坦計量をもたらすための条件は何か？

主な発見

• コンpactに台を持つコhomology類に属するリッチ平坦ケーラー錐のクリープント解体上では、リッチ平坦ケーラー計量が錐計量へ $ O(r^{-2m-k}) $ の速度で収束し、これは鋭い収束速度である（任意の $ k \to 0 $ に対して成り立つ）。
• 非コンpactなコhomology類では、収束速度は $ O(r^{-2-k}) $ であり、リッチ平坦ALE計量の減衰速度と一致する。
• 漸近的に錐状の多様体上でのヒートカーネルはガウス型評価を満たし、これはスケール不変Poincaré不等式および体積二重性に起因する。この性質は離散化により証明された。
• 重み付きHölder空間上でのラプラシアンは、漸近的に錐状の多様体上で適切に振る舞い、この設定下でCalabi予想の応用が可能になる。
• クリープント解体を持つトーリックケーラー錐に対して、厳密に凸な補助関数 $ h $ がKähler類 $ [\bar{\theta}_h] $ を定め、$ [\bar{\theta}_h] \to H_c^2 $ ならば、この類に属するリッチ平坦計量は鋭い速度 $ O(r^{-2m-k}) $ で錐計量へ収束する。
• 次元3において、すべての非二次のトーリックケーラー錐は、コンpactに台を持つKähler類をもたらす厳密に凸な補助関数を備えたクリープント解体を持つため、このような計量の構成が可能になる。